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Ángulos entre dos líneas que se cortan: opuestos por el vértice y adyacentes

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Respuesta rápida

α = γ porque ambos son suplementarios de β. 2) Opuestos por el vértice: α y γ, δ y β; tienen igual medida. Suplementarios: α y β, γ y β; adyacentes suman 180°.

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Solución — Página 32

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Ejercicio 1

Observa y completa: dos rectas que se cortan forman los ángulos $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ y $\delta$ .

$\alpha$ y $\gamma$ miden lo mismo porque son ángulos opuestos por el vértice.
$\beta$ y $\alpha$ son adyacentes, entonces: $\beta + \alpha = 180^\circ$ .
$\beta$ y $\gamma$ también son adyacentes: $\beta + \gamma = 180^\circ$ .
Despejando $\alpha$ : $\alpha = 180^\circ - \beta$ .
Despejando $\gamma$ : $\gamma = 180^\circ - \beta$ .
Como ambas expresiones son iguales a $180^\circ - \beta$ , se concluye que $\alpha = \gamma$ .

Respuesta

$\alpha = \gamma$ porque ambos son suplementarios del mismo ángulo $\beta$ .

Ejercicio 2

Observa y completa: propiedades de los ángulos formados por dos rectas que se cortan.

Los ángulos opuestos por el vértice son los que comparten el vértice pero no los lados: $\alpha$ y $\gamma$ ; $\delta$ y $\beta$ .
Los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida.
Los ángulos suplementarios (adyacentes) suman $180^\circ$ : $\alpha$ y $\beta$ ; $\gamma$ y $\beta$ .
Los ángulos adyacentes son suplementarios, es decir, suman $180^\circ$ .

Respuesta

opuestos por el vértice: $\alpha$ y $\gamma$ , $\delta$ y $\beta$ ; suplementarios: $\alpha$ y $\beta$ , $\gamma$ y $\beta$ ; adyacentes suman $180^\circ$ .

Contenido de la página

Capítulo 4: Ángulos

Ángulos entre dos líneas que se cortan

1. Observa y completa

En el diagrama, dos rectas se cortan formando los ángulos $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ y $\delta$ .

$\alpha$ y $\gamma$ miden lo mismo porque ______.
$\beta + \square = 180^\circ$
$\beta + \square = 180^\circ$

Se puede deducir que:

$\alpha = 180^\circ - \square$
$\gamma = 180^\circ - \square$

Y por lo tanto, concluir que: $\square = \square$

2. Observa y completa

Son ángulos opuestos por el vértice:

$\alpha$ y $\square$
$\delta$ y $\square$

Los ángulos opuestos por el vértice tienen ______ medida.

Son ángulos suplementarios:

$\alpha$ y $\square$
$\gamma$ y $\square$

Los ángulos adyacentes son ______, es decir, suman ______.

Ejemplos resueltos

Si dos rectas se cortan y uno de los ángulos mide $65^\circ$ , ¿cuánto miden los otros tres?

El opuesto por el vértice mide $65^\circ$ . Los adyacentes miden $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ . El opuesto a este último también mide $115^\circ$ .

Tabla

Tipo de ángulo	Relación	Ejemplo
Opuestos por el vértice	Miden lo mismo	α = γ; δ = β
Adyacentes o suplementarios	Suman 180°	α + β = 180°; γ + β = 180°

Diagrama

graph TD
  A[Rectas que se cortan] --> B[Ángulos opuestos por el vértice]
  A --> C[Ángulos adyacentes]
  B --> D[Tienen igual medida]
  C --> E[Son suplementarios]
  E --> F[Suman 180°]

Fórmulas y ecuaciones

$\alpha$ = $\gamma$ $\quad$ $\text{(opuestos por el vértice)}$

$\alpha$ + $\beta$ = $180^\circ$ $\quad$ $\text{(adyacentes)}$

$\beta$ + $\alpha$ = $180^\circ$

$\beta$ + $\gamma$ = $180^\circ$

$\alpha$ = $180^\circ$ - $\beta$

$\gamma$ = $180^\circ$ - $\beta$

$\alpha$ = $\gamma$

Glosario (4)

Ángulos opuestos por el vértice: Par de ángulos que comparten el vértice pero no los lados; siempre tienen igual medida.
Ángulos adyacentes: Ángulos que comparten un vértice y un lado, y no se superponen.
Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuya suma es 180°.
Ángulo extendido: Ángulo que mide 180° y forma una línea recta.

Temas y conceptos clave

Ángulos entre dos líneas que se cortanÁngulos opuestos por el vérticeÁngulos adyacentes y suplementariosÁngulo opuesto por el vérticeÁngulo adyacenteÁngulo suplementarioÁngulo extendido (180°)

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