Ángulos en triángulos y clasificación de triángulos

Un estudiante dibujó un triángulo ABC. Sus ángulos miden: en A, 75^\circ, en B, 72^\circ y en C, 33^\circ. Ordena sus lados de menor a mayor.

1. En todo triángulo, al mayor ángulo se opone el mayor lado y al menor ángulo se opone el menor lado.
2. Identificamos el lado opuesto a cada ángulo:
   • Lado opuesto a A = 75^\circ: lado BC.
   • Lado opuesto a B = 72^\circ: lado AC.
   • Lado opuesto a C = 33^\circ: lado AB.
3. Comparamos los ángulos: 33^\circ < 72^\circ < 75^\circ.
4. Por lo tanto, los lados en orden creciente son: AB < AC < BC.

En el triángulo ABC, ¿qué relación hay entre los lados AB y BC?

1. Observamos la imagen: el triángulo tiene dos ángulos marcados de 65^\circ en los vértices A y C.
2. Como los ángulos A y C son iguales, el triángulo es isósceles.
3. En un triángulo isósceles, los lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales.
4. El lado opuesto al ángulo A es BC; el lado opuesto al ángulo C es AB.
5. Por lo tanto, AB = BC.

¿Cuál de estos triángulos no pertenece al mismo grupo que los otros dos? ¿Por qué?

1. Triángulo A: tiene sus tres ángulos de 60^\circ, por lo tanto es equilátero (tres lados iguales).
2. Triángulo B: tiene sus tres lados marcados de 3\text{ cm}, por lo tanto es equilátero.
3. Triángulo C: tiene dos lados de 3\text{ cm} y uno de 2\text{ cm}, por lo tanto es isósceles.
4. Los triángulos A y B son equiláteros; el triángulo C no lo es.

¿Qué tienen en común estos triángulos?

1. Primer triángulo: lados 3\text{ cm}, 4\text{ cm} y 5\text{ cm}. Verificamos: 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2. Es un triángulo rectángulo.
2. Segundo triángulo: ángulos 35^\circ, 60^\circ y 85^\circ. Como 35^\circ + 60^\circ + 85^\circ = 180^\circ, es un triángulo acutángulo (todos sus ángulos son agudos).
3. Observamos que ambos triángulos tienen todos sus lados y ángulos de distinta medida.
4. En ambos, ningún lado ni ángulo es igual a otro.