Ayúdenle a Mariana: si la secante es perpendicular al radio y pasa por la mitad del radio, ¿la relación entre el perímetro de la circunferencia y la longitud de la secante permanece constante?

perímetrosecante ≈ 3.63 (constante)

Libro de Matemática 4 grado

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¿Encontramos otras relaciones constantes?

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Respuesta rápida

Sí es constante: perímetro ÷ secante ≈ 3.63 para cualquier circunferencia. 2.a) No es constante (3 vs ≈2.67). 2.b) No es constante (≈2.83 vs ≈2.53). Solo en el círculo la relación es siempre 3.14.

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Solución — Página 117

Matematica 4° · Cartilla

Ejercicio 1

Ayúdenle a Mariana a resolver su inquietud: ¿la relación entre el perímetro de la circunferencia y la longitud de la secante trazada permanece constante, si la secante es perpendicular al radio y pasa por la mitad del radio?

En la figura, $C$ es el centro; el radio $CP$ es horizontal y la secante (cuerda azul) lo corta en su punto medio, es decir, a $\frac{1}{2}$ del radio.
Como la construcción depende solo de proporciones del círculo ('la mitad del radio'), al agrandar o achicar la circunferencia todo se agranda por igual; la relación debe ser la misma para todos los círculos.
Prueba con un círculo de radio $r = 2 \, \text{cm}$ : la secante queda a $1 \, \text{cm}$ del centro. La cuerda a esa distancia mide $2\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \, \text{cm}$ . El perímetro es $C \approx 2 \times 3.14 \times 2 = 12.56 \, \text{cm}$ .
Relación: $\frac{12.56}{3.46} \approx 3.63$ .
Prueba con otro círculo de radio $r = 4 \, \text{cm}$ : la secante mide $2\sqrt{4^{2} - 2^{2}} = 2\sqrt{12} \approx 6.93 \, \text{cm}$ y el perímetro $C \approx 25.12 \, \text{cm}$ ; la relación es $\frac{25.12}{6.93} \approx 3.63$ .

Respuesta

sí, la relación permanece constante, y su valor es aproximadamente $3.63$ (el perímetro mide unas $3.6$ veces la longitud de esa secante). La clave es que la secante siempre se traza a la misma fracción del radio ( $\frac{1}{2}$ ).

Ejercicio 2

Haz las construcciones para investigar si la relación entre el perímetro del rectángulo y la longitud de la línea trazada permanece constante. En caso de permanecer constante, di su valor.

Parte 2.a

Perímetro del rectángulo y la longitud de una línea paralela a una de sus bases

Una línea paralela a la base mide lo mismo que la base: $b$ .
Ejemplo 1: rectángulo de $4 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm}$ : $P = 2 \times (4 + 2) = 12 \, \text{cm}$ ; relación $\frac{12}{4} = 3$ .
Ejemplo 2: rectángulo de $6 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm}$ : $P = 2 \times (6 + 2) = 16 \, \text{cm}$ ; relación $\frac{16}{6} \approx 2.67$ .
Los dos valores son distintos.

Respuesta

la relación no es constante: cambia cuando cambia la proporción entre la base y la altura del rectángulo.

Parte 2.b

Perímetro de un rectángulo y la longitud de una de sus diagonales

Ejemplo 1: cuadrado de $4 \, \text{cm}$ de lado: $P = 16 \, \text{cm}$ ; diagonal $\sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{32} \approx 5.66 \, \text{cm}$ ; relación $\frac{16}{5.66} \approx 2.83$ .
Ejemplo 2: rectángulo de $6 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm}$ : $P = 16 \, \text{cm}$ ; diagonal $\sqrt{6^{2} + 2^{2}} = \sqrt{40} \approx 6.32 \, \text{cm}$ ; relación $\frac{16}{6.32} \approx 2.53$ .
Los valores son distintos, aunque los dos rectángulos tengan el mismo perímetro.

Conclusión

A diferencia del círculo —donde $P \div L \approx 3.14$ siempre, porque el diámetro y el radio determinan completamente la figura—, en el rectángulo el perímetro no determina la base, la altura ni la diagonal, por eso no aparecen relaciones constantes.

Respuesta

la relación no es constante: la longitud de la diagonal depende de la forma del rectángulo, no solo de su perímetro.

Contenido de la página

Mariana: ¿Será que podemos encontrar otras cosas como éstas? Por ejemplo, ¿será que si yo trazo una circunferencia y una línea secante trazada, así como se muestra en la figura, podré encontrar que la relación entre el perímetro de esta circunferencia y la longitud de esta línea permanece constante?

La figura muestra una circunferencia con centro $C$ , un radio horizontal hasta el punto $P$ , un diámetro vertical perpendicular al radio y una secante (cuerda) perpendicular al radio que pasa por $\frac{1}{2}$ del radio.

Trabaja en grupo

Ayúdenle a Mariana a resolver la inquietud que tiene. Si se sabe que el diámetro y la secante trazada son perpendiculares al radio y la secante pasa por la mitad del radio.

Trabaja solo

Haz las construcciones para investigar si la relación entre el perímetro del rectángulo y la longitud de la línea trazada permanece constante. En caso de permanecer constante, di su valor.
- ✔ Perímetro del rectángulo y la longitud de una línea paralela a una de sus bases.
- ✔ Perímetro de un rectángulo y la longitud de una de sus diagonales.

Tabla

Caso	Figura 1	Figura 2	¿Constante?
Círculo ÷ secante a $\frac{1}{2}$ del radio	$12.56 \div 3.46 \approx 3.63$	$25.12 \div 6.93 \approx 3.63$	Sí ( $\approx 3.63$ )
Rectángulo ÷ línea paralela a la base	$12 \div 4 = 3$	$16 \div 6 \approx 2.67$	No
Rectángulo ÷ diagonal	$16 \div 5.66 \approx 2.83$	$16 \div 6.32 \approx 2.53$	No

Diagrama

flowchart TD
  A[¿Hay más relaciones constantes?] --> B[Circulo con secante a mitad del radio]
  B --> C[Sí: perímetro dividido secante = 3.63 aprox, constante]
  A --> D[Rectangulo: linea paralela a la base]
  D --> E[No constante: depende de base y altura]
  A --> F[Rectangulo: diagonal]
  F --> G[No constante: depende de la forma]
  C --> H[Conclusion: solo el circulo, por estar determinado por su radio]
  E --> H
  G --> H

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{12.56}{3.46}$ $\approx$ 3.63

$\frac{25.12}{6.93}$ $\approx$ 3.63

P = 2 $\times$ (b + h)

$\sqrt{4^{2} + 4^{2}}$ = $\sqrt{32}$ $\approx$ 5.66

Glosario (4)

Secante: Línea que corta a la circunferencia en dos puntos; el trozo dentro del círculo es una cuerda.
Diagonal: Segmento que une dos vértices opuestos de un polígono, como las esquinas de un rectángulo.
Relación constante: Cociente entre dos medidas que da siempre el mismo valor, como el 3.14 del círculo.
Perpendicular: Que forma un ángulo recto de $90^{\circ}$ con otra línea.

Preguntas para practicar

¿La relación entre el perímetro de la circunferencia y la secante trazada a la mitad del radio permanece constante?

Sí: vale aproximadamente 3.63 para cualquier circunferencia, porque la secante siempre se define como una fracción fija ($\frac{1}{2}$) del radio.

¿El perímetro del rectángulo y la línea paralela a su base dan relación constante?

No: la línea mide lo mismo que la base y el cociente $\frac{2(b+h)}{b}$ cambia cuando cambia la proporción entre base y altura.

¿El perímetro del rectángulo y su diagonal dan relación constante?

No: dos rectángulos con el mismo perímetro pueden tener diagonales distintas (5.66 y 6.32 cm), así que el cociente varía.

Temas y conceptos clave

Búsqueda de otras relaciones constantesSecante trazada a la mitad del radioRelaciones no constantes en el rectángulorelación constantesecantecuerdamitad del radioperímetro de la circunferenciadiagonal del rectángulolínea paralela a la base

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Figuras de la página (6)

Mariana pregunta si existen más relaciones constantes; junto a ella, una circunferencia con centro C, radio CP, un diámetro vertical y una secante perpendicular al radio que pasa por 1/2 del radio, con los globos 'Secante' y '1/2 del radio'. — Figura 1 image

Recuadro con un rectángulo atravesado por una línea horizontal paralela a sus bases. — Figura 2 image

Recuadro con un rectángulo y una de sus diagonales trazadas de esquina a esquina. — Figura 3 image

Figura 4 de Matematica 4° · Cartilla — Figura 4 image

Figura 5 de Matematica 4° · Cartilla — Figura 5 image

Figura 6 de Matematica 4° · Cartilla — Figura 6 image

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📌 Antes de leer esto

• Relación $P \div L \approx 3.14$ del círculo
• Perímetro del rectángulo $P = 2(b + h)$
• Construcción con regla y compás

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Área del círculo y nuevas mediciones

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1104 caracteres

èSerá que podemos encontrar otras cosas como éstas?Por ejemplo, èserá que si yo trazo una circunferencia y una línea secante trazada, así como se muestra en la figura, podré encontrar que la relación entre el perímetro de esta circunferencia y la longitud de esta linea permanece constante?

Ayúdenle a Mariana a resolver la inquietud que tiene. Si se sabe que el diámetro y la secante trazada son perpendiculares al radio y la secante pasa por la mitad del radio.

2.Haz las construcciones para investigar si la relación entre el perímetro del rectángulo y la longitud de la linea trazada permanece constante. En caso de permanecer constante dí su valor.

Perímetro del rectángulo y la longitud de una línea paralela a una de sus bases.

Perímetro de un rectángulo y la longitud de una de sus diagonales.

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