Recortes de un cuadrado y los potreros de don Hernando (Guía 12 B)

Recorta un cuadrado de papel por el doblez de la mitad. Forma con los pedazos un rectángulo. Calcula el área y el perímetro del rectángulo obtenido.

1. El cuadrado de lado a (por ejemplo a = 1 \, \text{dm} = 10 \, \text{cm}) cortado por la mitad da dos rectángulos de a \times \frac{a}{2} (10 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm}).
2. Unido corto con corto se forma el rectángulo alargado de 2a \times \frac{a}{2}, es decir 20 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm}.
3. Área del rectángulo: 20 \times 5 = 100 \, \text{cm}^{2}. Área del cuadrado: 10 \times 10 = 100 \, \text{cm}^{2}.
4. Perímetro del rectángulo: 2 \times (20 + 5) = 50 \, \text{cm}. Perímetro del cuadrado: 4 \times 10 = 40 \, \text{cm}.

Respuesta (a): el área del rectángulo es igual a la del cuadrado (misma área, 100 \, \text{cm}^{2}): solo se reacomodaron las piezas.

Respuesta (b): el perímetro del rectángulo es mayor que el del cuadrado: 50 \, \text{cm} frente a 40 \, \text{cm} (en general 5a frente a 4a); crece porque al unir las piezas aparecen dos bordes nuevos.

Recorta otro cuadrado por una de las diagonales y forma con los dos pedazos un triángulo.

1. Al cortar por la diagonal se obtienen dos triángulos rectángulos de catetos a y a.
2. Uniéndolos por un cateto, con los ángulos rectos juntos hacia abajo, se forma un triángulo grande de base 2a y altura a (20 \, \text{cm} de base y 10 \, \text{cm} de altura).
3. Área del triángulo: \frac{2a \times a}{2} = a^{2}; con los números: \frac{20 \times 10}{2} = 100 \, \text{cm}^{2}.
4. Perímetro del triángulo: 2a + 2 \times a\sqrt{2}, es decir 20 + 2 \times 14.1 \approx 48.3 \, \text{cm}; el del cuadrado es 40 \, \text{cm}.

Respuesta (a): el área del triángulo es igual a la del cuadrado (100 \, \text{cm}^{2}): son figuras equivalentes.

Respuesta (b): no, los perímetros no son iguales: el del triángulo (\approx 48.3 \, \text{cm}) es mayor que el del cuadrado (40 \, \text{cm}), porque sus dos lados inclinados (las diagonales) miden más que los lados del cuadrado.

Don Hernando tiene dos potreros, uno de forma cuadrada y otro de forma rectangular: el cuadrado mide 24 \, \text{m} de lado y el rectángulo 48 \, \text{m} de largo por 12 \, \text{m} de ancho.