El nuevo cuadrado y los rectángulos de 24 cuadritos (Guía 12 B)

Actividad 1 (continuación de la historia de don Ricardo)

Recorten y armen el nuevo cuadrado

1. Se toman los dos cuadrados iguales de papel (cada uno representa un terreno de área a^{2}).
2. Se corta cada cuadrado por sus diagonales, obteniendo cuatro triángulos rectángulos iguales.
3. Se acomodan los cuatro triángulos con sus ángulos rectos hacia el centro: los cuatro lados exteriores son las diagonales de los cuadrados originales y forman el nuevo cuadrado, con las esquinas que don Ricardo menciona.

Respuesta orientativa: el nuevo cuadrado queda armado por completo con las piezas de los dos cuadrados originales, girado 45^\circ respecto a ellos.

Expliquen por qué el área del nuevo cuadrado es el doble de la del cuadrado original

1. El nuevo cuadrado se construyó usando toda el papel de los dos cuadrados originales.
2. Cada triángulo tiene la mitad del área de un cuadrado: \frac{a^{2}}{2}.
3. Área del nuevo cuadrado: 4 \times \frac{a^{2}}{2} = 2a^{2}, exactamente el doble de a^{2}.

¿También necesitará don Ricardo el doble de cerca para encerrar el nuevo terreno?

1. El cerca depende del perímetro, no del área.
2. Si el cuadrado original mide, por ejemplo, 6 \, \text{cm} de lado (medido con regla), su perímetro es 4 \times 6 = 24 \, \text{cm}.
3. El lado del nuevo cuadrado es la diagonal: 6\sqrt{2} \approx 8.5 \, \text{cm}, y su perímetro es 4 \times 8.5 \approx 34 \, \text{cm}.
4. Comparo: 34 es más que 24, pero menos que el doble (48).

Respuesta: no. Al duplicar el área, el perímetro solo aumenta alrededor de 1.4 veces (4\sqrt{2} \approx 5.66 veces el lado, es decir, unas \frac{5.66}{4} = 1.41 veces el perímetro original); don Ricardo NO necesita el doble de cerca.

Haz en cartulina 24 cuadritos de 1 \, \text{cm}^{2}. Investiga cuántos rectángulos distintos puedes hacer usando la totalidad de estos cuadritos. Investiga también si el perímetro de estos rectángulos permanece constante, así como sucede con su área.

1. Todos los rectángulos usan los 24 cuadritos completos, así que todos tienen área 24 \, \text{cm}^{2}: el área sí permanece constante.
2. Los rectángulos posibles corresponden a las parejas de factores de 24: 1 \times 24, 2 \times 12, 3 \times 8 y 4 \times 6. Son 4 rectángulos distintos.
3. Calculo el perímetro de cada uno con P = 2 \times (\text{largo} + \text{ancho}):
   • 1 \times 24: P = 2 \times (1 + 24) = 50 \, \text{cm}.
   • 2 \times 12: P = 2 \times (2 + 12) = 28 \, \text{cm}.
   • 3 \times 8: P = 2 \times (3 + 8) = 22 \, \text{cm}.
   • 4 \times 6: P = 2 \times (4 + 6) = 20 \, \text{cm}.
4. El perímetro no permanece constante: varía de 20 a 50 cm.

Si el perímetro varía, encuentra el rectángulo de mayor perímetro

Respuesta: el rectángulo de 1 \times 24 (la tira más alargada) tiene el mayor perímetro: 50 \, \text{cm}. Cuanto más alargado y delgado es el rectángulo, mayor es su perímetro con la misma área; el de menor perímetro es el más parecido a un cuadrado (4 \times 6, con 20 \, \text{cm}).