Lean la historia y respondan las preguntas (trabajo en grupo).
La historia
Don Ricardo tiene un terreno de forma cuadrada donde cultiva flores. Quiere anexar nuevos terrenos de tal manera que el área total sea el doble, pero conservando la forma cuadrada. Le pregunta a su hijo Sebastián, quien corre en busca de papel, lápiz y tijeras.
¿Qué hacer? (pregunta de la historia)
- Si el terreno original es un cuadrado de lado a, su área es a \times a = a^{2}.
- El terreno duplicado debe tener área 2a^{2} y seguir siendo un cuadrado, de lado L tal que L \times L = 2a^{2}.
- Ese nuevo lado es exactamente la diagonal del cuadrado original: L = a\sqrt{2}, porque \left(a\sqrt{2}\right)^{2} = a^{2} \times 2 = 2a^{2}.
- Con papel: se cortan los dos cuadrados por sus diagonales y los cuatro triángulos rectángulos se acomodan con sus ángulos rectos hacia el centro; el cuadrado grande que resulta, cuyos lados son las diagonales, tiene exactamente el doble de área.
Respuesta orientativa: el cuadrado del doble de área es el que tiene por lado la diagonal del cuadrado original; sus cuatro esquinas las forman los lados del cuadrado pequeño girado 45°.
Los intentos de Sebastián
- Sebastián recorta dos cuadrados de papel.
- Corta uno por la mitad e intenta agrandar el otro con los dos pedazos. Resultado: con las tres piezas no se arma un cuadrado (queda un cuadrado con dos rectángulos alargados pegados, que forman un rectángulo, no un cuadrado).
- Corta nuevamente los dos pedazos por la mitad. Resultado: con estos cinco pedazos el cuadrado no queda completo (un cuadrado y cuatro rectángulos delgados no cubren un cuadrado mayor sin huecos ni sobrantes).
- Los cortes que ha hecho no le han servido. Recorta otro cuadrado y ensaya nuevos cortes. Sebastián exclama: ¡Creo que lo logré!
Respuesta orientativa: los primeros intentos fallan porque pegar rectángulos a los lados de un cuadrado produce rectángulos, nunca cuadrados. El corte que funciona es por las diagonales: los cuatro triángulos rectángulos iguales se reacomodan formando un cuadrado girado, del doble de área. La construcción completa continúa en la página siguiente.
