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Explico afirmaciones sobre energía cinética, potencial y mecánica en el MSH

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Falsa: $E_c=0$ en los extremos; es máxima en el equilibrio. 2) Falsa: en los extremos $E_p=\frac{1}{2}kA^2$ (máximo). 3) Falsa: en el equilibrio $E_p=0$ . 4) Verdadera: $E=\frac{1}{2}kA^2=\text{cte}$ .

📚 exercise fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 100

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 1

(ítem b.1)

Afirmación: "La energía cinética es máxima en el punto de elongación o compresión máxima."

Esta afirmación es falsa. En un oscilador armónico simple, la elongación máxima $A$ se alcanza cuando la masa se detiene justo antes de invertir su movimiento.

En el punto de elongación (o compresión) máxima, la velocidad del móvil es nula: $v = 0$ .
La energía cinética se calcula como $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ .
Sustituyendo: $E_{c} = \frac{1}{2} m (0)^{2} = 0$ .
Por lo tanto, en los extremos la energía cinética es mínima (nula), no máxima.
La energía cinética es máxima en el punto de equilibrio, donde $v = v_{\text{máx}} = \omega A$ , de modo que $E_{c,\text{máx}} = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}$ .

Respuesta

La afirmación es falsa; $E_c = 0$ en los extremos y es máxima en el equilibrio, donde la velocidad alcanza su valor máximo.

Ejercicio 2

(ítem b.2)

Afirmación: "La energía potencial es nula en los puntos de elongación y compresión máxima."

Esta afirmación es falsa. La energía potencial elástica asociada al resorte es

$E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}.$

En el punto de elongación máxima, el desplazamiento vale $x = +A$ .
Sustituyendo: $E_{p} = \frac{1}{2} k (+A)^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ .
En el punto de compresión máxima, $x = -A$ , y como el cuadrado elimina el signo: $E_{p} = \frac{1}{2} k (-A)^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ .
Como $A \neq 0$ y $k > 0$ , entonces $E_{p} = \frac{1}{2} k A^{2} \neq 0$ : es el valor máximo posible de energía potencial.

Respuesta

La afirmación es falsa; en los extremos $x = \pm A$ y la energía potencial elástica alcanza su máximo $E_{p,\text{máx}} = \frac{1}{2} k A^{2}$ .

Ejercicio 3

(ítem b.3)

Afirmación: "La energía potencial es máxima en el punto de equilibrio."

Esta afirmación es falsa. En el punto de equilibrio la masa se encuentra en su posición natural (sin deformación del resorte).

En el equilibrio, el desplazamiento respecto de la posición de reposo es $x = 0$ .
La energía potencial elástica es $E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$ .
Sustituyendo: $E_{p} = \frac{1}{2} k (0)^{2} = 0$ .
Además, como la energía mecánica total es constante, $E = E_{c} + E_{p} = \frac{1}{2} m v_{\text{máx}}^{2} + 0$ , es decir, todo el sistema está en energía cinética.

Respuesta

La afirmación es falsa; en el equilibrio $x = 0$ , luego $E_p = 0$ (es el valor mínimo), y toda la energía es cinética.

Ejercicio 4

(ítem b.4)

Afirmación: "La energía mecánica se mantiene."

Esta afirmación es verdadera, bajo la condición de que no actúen fuerzas disipativas (fricción, resistencia del aire) ni que el resorte no esté deformado de forma permanente.

La energía mecánica total del oscilador es $E = E_{c} + E_{p} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$ .
En un instante arbitrario, con $x = A \sin(\omega t)$ y $v = \omega A \cos(\omega t)$ , se obtiene: $E = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} \cos^{2}(\omega t) + \frac{1}{2} k A^{2} \sin^{2}(\omega t).$
Como $k = m \omega^{2}$ , la expresión se reduce a: $E = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} \left[\cos^{2}(\omega t) + \sin^{2}(\omega t)\right] = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}.$
La energía total depende solo de $k$ y $A$ , que son constantes: la energía se transforma continuamente de cinética a potencial y viceversa, pero su suma se conserva.
En consecuencia, $E_{p,\text{máx}} = E_{c,\text{máx}} = \frac{1}{2} k A^{2}$ .

Respuesta

La afirmación es verdadera; $E = \frac{1}{2} k A^{2} = \text{cte}$ porque solo hay fuerzas conservativas.

Contenido de la página

b) Explico las siguientes afirmaciones:

La energía cinética es máxima en el punto de elongación o compresión máxima.
La energía potencial es nula en los puntos de elongación y compresión máxima.
La energía potencial es máxima en el punto de equilibrio.
La energía mecánica se mantiene.

(Cada afirmación está acompañada de un recuadro punteado para que el estudiante escriba su explicación.)

Nota de análisis: Las afirmaciones 1 a 3 son falsas y deben explicarse corrigiéndolas; la afirmación 4 es verdadera. El análisis corresponde a un sistema masa–resorte con oscilaciones ideales (sin fricción).

Ejemplos resueltos

Un resorte de constante $k = 200\,\text{N/m}$ tiene una masa de $0{,}5\,\text{kg}$ unida a él y oscila con amplitud $A = 0{,}1\,\text{m}$ . Calcular la energía mecánica total y la energía cinética y potencial en tres posiciones: extremo, equilibrio y $x = A/2$ .

Energía total: $E = \frac{1}{2}kA^{2} = \frac{1}{2}(200)(0{,}1)^{2} = 1{,}0\,\text{J}$ .
En el extremo ( $x = A$ , $v = 0$ ): $E_p = 1{,}0\,\text{J}$ , $E_c = 0$ .
En el equilibrio ( $x = 0$ , $v = v_{\text{máx}}$ ): $E_p = 0$ , $E_c = E = 1{,}0\,\text{J}$ .
En $x = A/2 = 0{,}05\,\text{m}$ : $E_p = \frac{1}{2}(200)(0{,}05)^{2} = 0{,}25\,\text{J}$ y $E_c = E - E_p = 1{,}0 - 0{,}25 = 0{,}75\,\text{J}$ .
En todos los casos $E_c + E_p = 1{,}0\,\text{J}$ : la energía mecánica se mantiene.

Tabla

Posición	Desplazamiento $x$	Velocidad $v$	Energía cinética $E_c$	Energía potencial $E_p$	Energía mecánica $E$
Extremo (elongación máxima)	$+A$	$0$	$0$	$\frac{1}{2}kA^{2}$ (máx)	$\frac{1}{2}kA^{2}$
Equilibrio	$0$	$v_{\text{máx}}=\omega A$	$\frac{1}{2}kA^{2}$ (máx)	$0$	$\frac{1}{2}kA^{2}$
Extremo (compresión máxima)	$-A$	$0$	$0$	$\frac{1}{2}kA^{2}$ (máx)	$\frac{1}{2}kA^{2}$
Posición intermedia $x$	$x$	$\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}$	$\frac{1}{2}m\omega^{2}(A^{2}-x^{2})$	$\frac{1}{2}kx^{2}$	$\frac{1}{2}kA^{2}$

Diagrama

graph LR
  A[Extremo: x = ±A, v = 0] -->|la masa acelera| B[Equilibrio: x = 0, v = v máx]
  B -->|la masa frena| C[Extremo opuesto: x = ∓A, v = 0]
  C -->|la masa acelera| B
  B -->|la masa frena| A
  A ---|E_p = ½kA² (máx), E_c = 0| A
  B ---|E_c = ½kA² (máx), E_p = 0| B

Fórmulas y ecuaciones

E = $\frac{1}{2}$ m $v^{2}$ + $\frac{1}{2}$ k $x^{2}$ = $\frac{1}{2}$ k $A^{2}$ = $\text{cte}$

$E_{p$ , $\text{máx}$ } = $\frac{1}{2}$ k $A^{2}$ $\quad$ ( $\text{en los extremos, }$ x = $\pm$ A)

$E_{c$ , $\text{máx}$ } = $\frac{1}{2}$ m $\omega^{2}$ $A^{2}$ $\quad$ ( $\text{en el equilibrio, }$ x = 0)

$E_{c}$ = $\frac{1}{2}$ m $v^{2}$

$E_{p}$ = $\frac{1}{2}$ k $x^{2}$

E = $E_{c}$ + $E_{p}$ = $\frac{1}{2}$ m $v^{2}$ + $\frac{1}{2}$ k $x^{2}$ = $\frac{1}{2}$ k $A^{2}$ = $\text{cte}$

$v_{$ $\text{máx}$ } = $\omega$ A = A $\sqrt{\frac{k}{m}}$

$E_{c$ , $\text{máx}$ } = $E_{p$ , $\text{máx}$ } = $\frac{1}{2}$ k $A^{2}$

k = $m\omega^{2}$

Glosario (5)

Energía cinética: Energía asociada al movimiento de un cuerpo, $E_c = \frac{1}{2}mv^2$.
Energía potencial elástica: Energía almacenada en un resorte deformado, $E_p = \frac{1}{2}kx^2$.
Energía mecánica: Suma de energía cinética y potencial; se conserva si solo actúan fuerzas conservativas.
Elongación (o compresión) máxima: Posición extrema del oscilador, donde el desplazamiento vale $\pm A$ y la velocidad es nula.
Punto de equilibrio: Posición natural del sistema, sin deformación del resorte ($x = 0$), donde la velocidad es máxima.

Preguntas para practicar

¿Por qué las afirmaciones 1, 2 y 3 son falsas mientras que la 4 es verdadera?

Las tres primeras confunden los valores de energía en los extremos y en el equilibrio: en los extremos ($x = \pm A$, $v = 0$) la energía cinética es nula y la potencial es máxima ($\frac{1}{2}kA^2$); en el equilibrio ($x = 0$, $v = v_{máx}$) la energía potencial es nula y toda la energía es cinética. La afirmación 4 es verdadera porque, sin fuerzas disipativas, la suma $E_c + E_p = \frac{1}{2}kA^2$ permanece constante durante todo el movimiento.

¿Qué le sucedería a la energía mecánica si se añadiera fricción al sistema?

Con fricción actuaría una fuerza no conservativa que realiza trabajo negativo sobre el sistema; parte de la energía mecánica se convertiría en calor y la amplitud disminuiría con el tiempo (oscilaciones amortiguadas). La energía total se conserva, pero la energía mecánica del oscilador ya no.

Temas y conceptos clave

Energía en el oscilador armónico simpleEnergía cinética y velocidad máximaEnergía potencial elástica y elongación máximaConservación de la energía mecánicaEnergía cinética máxima en el equilibrioEnergía potencial máxima en los extremosEnergía potencial nula en el equilibrioConservación de la energía mecánicaEcuación de energía del MSH