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Aceleración versus tiempo en el movimiento armónico simple

📄 teoria fisica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

C1 y C3: máximos de aceleración (extremos). C2 y C4: a = 0 (paso por el equilibrio). Negro = aceleración, azul = velocidad, rojo = desplazamiento.

📚 theory fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 98

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 1

(lectura del gráfico)

En la figura superior se grafica la aceleración $a(t)$ de una caja colgada de un resorte, marcando cuatro puntos: $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ y $C_4$ . ¿Qué significa cada punto?

En un resorte, la fuerza restauradora es $F = -kx$ , por la segunda ley de Newton $F = ma$ , luego $a = -\frac{k}{m}x$ .
Definiendo $\omega^{2} = \dfrac{k}{m}$ , queda $a = -\omega^{2} x$ : la aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo contrario.
Por eso, cuando la caja está en el extremo (máximo desplazamiento $\pm A$ ), la aceleración alcanza su valor máximo $\pm \omega^{2} A$ ; cuando está en la posición de equilibrio ( $x=0$ ), la aceleración es cero.
En el gráfico:
- $C_1$ : máximo valor de aceleración negativa; la caja está en un extremo con desplazamiento máximo positivo (según el signo de referencia del video).
- $C_2$ : $a=0$ ; la caja cruza la posición de equilibrio (velocidad máxima).
- $C_3$ : máximo valor de aceleración positiva; la caja está en el extremo opuesto, $x = \pm A$ .
- $C_4$ : $a=0$ nuevamente; la caja vuelve a cruzar el equilibrio en sentido contrario.
La curva tiene forma de onda (coseno invertido), lo que indica movimiento armónico simple: $a(t) = -\omega^{2} A \cos(\omega t)$ .

Respuesta

$C_1$ y $C_3$ son los extremos (máxima $|a|$ ), $C_2$ y $C_4$ son cruces por el equilibrio ( $a=0$ ).

Ejercicio 2

(resumen comparativo)

Ordenar las tres curvas del gráfico inferior de acuerdo con el gráfico superior.

El gráfico superior muestra solo la aceleración, que en el resumen es la curva negra.
En un armónico simple con x(t) = A\cos(\omega t):
- velocidad: $v(t) = \dfrac{dx}{dt} = -A\omega\,\text{sen}(\omega t)$ (curva azul),
- aceleración: $a(t) = \dfrac{dv}{dt} = -\omega^{2} A\cos(\omega t)$ (curva negra).
La velocidad adelanta al desplazamiento un cuarto de período ( $\pi/2$ ) y la aceleración medio período ( $\pi$ ) respecto al desplazamiento.
Donde el desplazamiento (rojo) es máximo, la velocidad (azul) es cero y la aceleración (negra) es máxima; donde el desplazamiento es cero, la velocidad es máxima y la aceleración es cero.
En el gráfico inferior, los puntos de cruce rojo-azul-negro coinciden con los valores extremos de las otras dos curvas, tal como se observa en el gráfico superior ( $C_2$ y $C_4$ ).

Respuesta

Negra = aceleración (coincide con el gráfico superior), azul = velocidad, rojo = desplazamiento; se relacionan entre sí por derivación e integración.

Ejercicio 3

(explicación de las fórmulas)

Escribir las ecuaciones del movimiento armónico simple y relacionarlas.

Desplazamiento: $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ .
Velocidad: $v(t) = \dfrac{dx}{dt} = -A\omega\,\text{sen}(\omega t + \phi)$ .
Aceleración: $a(t) = \dfrac{dv}{dt} = -\omega^{2} A\cos(\omega t + \phi) = -\omega^{2}x(t)$ .
Relación frecuencia-resorte: $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ , $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ .
En $x=0$ se tiene $v_{\max}=\omega A$ y $a=0$ ; en $x=\pm A$ se tiene $v=0$ y $a_{\max}=\omega^{2}A$ .

Respuesta

$a(t) = -\omega^{2}x(t)$ con $\omega = \sqrt{k/m}$ .

Contenido de la página

ACELERACIÓN VERSUS TIEMPO

Se representa la aceleración de una caja suspendida de un resorte en función del tiempo. En el gráfico se destacan cuatro puntos:

C1: valor mínimo (máxima aceleración negativa).
C2: la curva cruza el eje horizontal ( $a = 0$ ).
C3: valor máximo (máxima aceleración positiva).
C4: la curva vuelve a cruzar el eje horizontal ( $a = 0$ ).

La curva tiene forma de onda, indicando un movimiento periódico (armónico).

RESUMEN

Se comparan tres curvas de un mismo sistema masa-resorte:

Rojo — Desplazamiento ( $x$ ).
Azul — Velocidad ( $v$ ).
Negro — Aceleración ( $a$ ).

Las tres son sinusoidales y están desfasadas entre sí; la aceleración del resumen coincide con la gráfica anterior.

Fuentes: https://n9.cl/3ik2zy y https://n9.cl/0i4et

Ejemplos resueltos

Una caja de masa $m = 2\,\text{kg}$ cuelga de un resorte con $k = 50\,\text{N/m}$ y se oscila con amplitud $A = 0{,}1\,\text{m}$ . Calcular la aceleración máxima.

$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\,\text{rad/s}@@MATH_0@@.\n3$ . Este valor corresponde a los puntos $C_1$ y $C_3$ de la gráfica.

¿Cuál es la aceleración cuando la caja pasa por el punto de equilibrio?

En el equilibrio $x = 0@@MATH_0@@.\n3$ . En la gráfica esto corresponde a los puntos $C_2$ y $C_4$ .

Tabla

Momento	Desplazamiento $x$	Velocidad $v$	Aceleración $a$	Punto en la gráfica
Extremo positivo	$x = +A$	$v = 0$	$a = \omega^{2}A$ (máx.)	$C_3$
Equilibrio (ida)	$x = 0$	$v = -\omega A$ (máx.)	$a = 0$	$C_2$
Extremo negativo	$x = -A$	$v = 0$	$a = -\omega^{2}A$ (mín.)	$C_1$
Equilibrio (retorno)	$x = 0$	$v = +\omega A$	$a = 0$	$C_4$

Diagrama

flowchart LR
  A[Desplazamiento x(t) = A cos(ωt)] -->|derivar| B[Velocidad v(t) = -Aω sen(ωt)]
  B -->|derivar| C[Aceleración a(t) = -ω² A cos(ωt)]
  C -->|se cumple| D[a = -ω² x]
  D -->|aplica| E[F = -kx y F = ma]

Fórmulas y ecuaciones

$a = -\omega^{2} x$ (la aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto)

$v_{\max} = \omega A$ cuando $x = 0$

$a_{\max} = \omega^{2} A$ cuando $x = \pm A$

a = - $\frac{k}{m}$ x = $-\omega^{2}x$

x(t) = $A\cos(\omega$ t + $\phi)$

v(t) = $-A\omega\$ , $\text{sen}$ $(\omega$ t + $\phi)$

a(t) = $-\omega^{2}A\cos(\omega$ t + $\phi)$

$\omega$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}@@MATH_0@@\sqrt{\frac{m}{k}}$

Glosario (5)

Movimiento armónico simple: Movimiento periódico en el que la fuerza restauradora es proporcional y de signo contrario al desplazamiento (F = -kx).
Posición de equilibrio: Punto donde el desplazamiento y la aceleración valen cero, y la velocidad es máxima.
Amplitud (A): Máximo valor absoluto del desplazamiento respecto a la posición de equilibrio.
Fase: Estado del movimiento en un instante dado, expresado como ángulo (ωt + φ) dentro de la función seno o coseno.
Frecuencia angular (ω): Velocidad angular del movimiento, relacionada con la frecuencia f por ω = 2πf.

Preguntas para practicar

¿Por qué la aceleración es máxima cuando el desplazamiento es máximo y vale cero en la posición de equilibrio?

Porque la fuerza del resorte (y por tanto la aceleración, por F = ma) depende del alargamiento: F = -kx. En el extremo el alargamiento es máximo y en el equilibrio el resorte no estira, por eso a = -ω²x es máximo en x = ±A y nulo en x = 0.

¿Qué gráfica de las tres (desplazamiento, velocidad, aceleración) adelanta un cuarto de período a las demás?

La velocidad adelanta al desplazamiento π/2 (un cuarto de período) y la aceleración adelanta medio período π al desplazamiento; en un sistema masa-resorte la aceleración va en contra de fase con el desplazamiento.

Temas y conceptos clave

Aceleración versus tiempoResumen de gráficos cinemáticosMovimiento armónico simple de masa-resorteaceleracióndesplazamientovelocidadmovimiento armónico simpleposición de equilibriopuntos extremosderivada de la trayectoria