Un automóvil de masa m_c = 1\,300\ \text{kg} se sostiene con cuatro amortiguadores (muelles) en paralelo, cada uno con constante de fuerza k = 20\,000\ \text{N/m}. Dos pasajeros con masa combinada m_p = 160\ \text{kg} viajan dentro del vehículo.
Graficar el esquema del vehículo y los amortiguadores.
En el esquema, la masa total que oscila incluye el chasis (más el interior del carro) y a los pasajeros, y cuatro resortes en paralelo la conectan con el suelo (las ruedas/camino):
flowchart TD
R["Ruedas / Camino (movimiento vertical y(t))"]
S1["Amortiguador 1<br/>k = 20 000 N/m"]
S2["Amortiguador 2<br/>k = 20 000 N/m"]
S3["Amortiguador 3<br/>k = 20 000 N/m"]
S4["Amortiguador 4<br/>k = 20 000 N/m"]
C["Chasis + Pasajeros<br/>m = 1 300 + 160 = 1 460 kg<br/>desplazamiento x(t)"]
R --> S1 --> C
R --> S2 --> C
R --> S3 --> C
R --> S4 --> C
Interpretación: al ser cuatro resortes en paralelo, todos se comprimen con el mismo desplazamiento x de la masa, por lo que sus fuerzas se suman: F = -(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)\,x.
Determinar la frecuencia del móvil posterior al pasar por un bache del camino.
- Constante de fuerza equivalente (resortes en paralelo): al haber cuatro resortes idénticos,
k_{eq} = 4k = 4 \times 20\,000\ \text{N/m} = 80\,000\ \text{N/m}
- Masa total que oscila: masa del carro más masa de los pasajeros,
m = m_c + m_p = 1\,300\ \text{kg} + 160\ \text{kg} = 1\,460\ \text{kg}
- Pulsación angular natural (frecuencia angular): para un oscilador armónico \omega = \sqrt{\dfrac{k_{eq}}{m}},
\omega = \sqrt{\frac{80\,000\ \text{N/m}}{1\,460\ \text{kg}}} = \sqrt{54{,}79\ \text{s}^{-2}} \approx 7{,}40\ \text{rad/s}
- Frecuencia lineal: la relación entre frecuencia y pulsación es \omega = 2\pi f, de donde
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{7{,}40\ \text{rad/s}}{2\pi} \approx 1{,}18\ \text{Hz}
- Verificación por el período: T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{1{,}18\ \text{Hz}} \approx 0{,}85\ \text{s}; comprobando con T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_{eq}}}: T = 2\pi\sqrt{\dfrac{1\,460}{80\,000}} = 2\pi\sqrt{0{,}01825} = 2\pi(0{,}1351) \approx 0{,}849\ \text{s}, lo que coincide.
Nota: al pasar por un bache, el suelo (las ruedas) recibe una excitación vertical; si esa perturbación tiene frecuencia cercana a 1{,}18\ \text{Hz}, se produce resonancia y las vibraciones del chasis se amplifican, lo que reduce el tiempo de vida útil del vehículo.
f \approx 1{,}18\ \text{Hz} (es decir, el carro vibra unas 1{,}2 veces por segundo, con periodo T \approx 0{,}85\ \text{s}).
