Interpretar los puntos A1, A2 y A3 de la gráfica de **posición versus tiempo** (curva roja) del muelle.

A1:(x=+A, v=0, a=-^2 A); A2:(x=0, v=± v_, a=0); A3:(x=-A, v=0, a=+^2 A)

Interpretar los puntos B1, B2, B3 y B4 de la gráfica de **velocidad versus tiempo** (curva azul) y relacionarlos con la posición del muelle.

B1, B3: v=0 (x=± A); B2: v=-A (x=0); B4: v=+A (x=0)

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Datos de sensores: posición versus tiempo y velocidad versus tiempo del muelle

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Respuesta rápida

A1 y A3: extremos de posición con v = 0 y a máxima. A2: equilibrio con v máxima y a = 0. B2 y B4: velocidades máximas ±Aω con a = 0. B1 y B3: reposo con a máxima.

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Solución — Página 97

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 1

Análisis de las gráficas de los sensores (Actividad 2)

Enunciado: Un grupo de sensores toma datos de posición, velocidad y aceleración del movimiento del muelle y su reflejo en el movimiento circular. Se muestran dos gráficas: posición versus tiempo (curva roja) y velocidad versus tiempo (curva azul).

Parte 1.a

Gráfica de posición versus tiempo (curva roja)

La curva roja tiene forma de coseno senoidal, lo que indica un movimiento armónico simple (MAS) en el que la posición se describe por

$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$

Siendo $A$ la amplitud (máximo desplazamiento respecto de la posición de equilibrio), $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ la frecuencia angular y $T$ el período.

Análisis de los puntos señalados:

Punto A1: es un máximo de la curva, es decir, $x = +A$ . El muelle está totalmente estirado (o comprimido hacia arriba) respecto de su posición de equilibrio; su velocidad es instantáneamente nula, $v = 0$ , y la aceleración es máxima y negativa: $a = -\omega^2 A$ (dirigida hacia el equilibrio).
Punto A2: es la intersección con el eje horizontal, $x = 0$ . El muelle pasa por su posición de equilibrio; la velocidad alcanza su máximo valor absoluto, $|v| = v_{\max} = A\omega$ , y la aceleración es nula: $a = 0$ , porque la fuerza restauradora es cero ( $F = -kx = 0$ ).
Punto A3: es un mínimo de la curva, $x = -A$ . El muelle está en el extremo opuesto, con $v = 0$ nuevamente y aceleración máxima positiva: $a = +\omega^2 A$ .

El tiempo transcurrido entre dos máximos consecutivos (por ejemplo, entre A1 y el siguiente máximo) es el período $T$ ; la distancia vertical entre A1 y A3 es $2A$ .

Parte 1.b

Gráfica de velocidad versus tiempo (curva azul)

La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo:

$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$

Por eso la curva azul está desfasada 90° (un cuarto de ciclo) respecto de la curva roja: cuando la posición es máximo, la velocidad es cero.

Análisis de los puntos señalados:

Punto B1: $v = 0$ , momento en que el cuerpo cambia de sentido de movimiento; en esa misma instancia $x$ es extremo ( $\pm A$ ) y $a$ es máximo.
Punto B2: extremo negativo de la curva, $v = -v_{\max} = -A\omega$ . El cuerpo pasa por el equilibrio ( $x = 0$ ) moviéndose hacia abajo, y su aceleración es cero.
Punto B3: la curva cruza el eje horizontal de nuevo, $v = 0$ ; el cuerpo se detiene en el extremo opuesto ( $x = -A$ ) y vuelve a invertir su sentido.
Punto B4: extremo positivo, $v = +v_{\max} = +A\omega$ ; el cuerpo pasa nuevamente por el equilibrio, pero ahora moviéndose hacia arriba, con $a = 0$ .

Parte 1.c

Relación con el movimiento circular

El MAS es la proyección del movimiento circular uniforme: si un punto gira con radio $r$ y frecuencia angular $\omega$ , su proyección sobre un diámetro sigue $x(t) = r\cos(\omega t + \varphi)$ .

$A = r, \qquad v_{\max} = A\omega, \qquad a_{\max} = A\omega^2$

La aceleración centripeta del movimiento circular uniforme, $a_c = \dfrac{v^2}{r} = A\omega^2$ , es constante en módulo; proyectada sobre el diámetro se obtiene la aceleración armónica $a = -\omega^2 x$ , que sí varía con la posición. Esto explica por qué la aceleración máxima coincide con los extremos de la curva de posición y es nula en los cruces por el equilibrio.

Parte 1.d

Relación velocidad–posición

Sustituyendo $x(t)$ y $v(t)$ se obtiene la ecuación de la trayectoria en el espacio de fases:

$v^2 + \omega^2 x^2 = (A\omega)^2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{(A\omega)^2} = 1$

Es una elipse en el plano $(x, v)$ , confirmando el acoplamiento perfecto entre ambas gráficas mostradas.

Respuesta

En la gráfica roja, A1 y A3 son extremos de posición ( $v=0$ , $a$ máximo) y A2 es el paso por el equilibrio ( $v$ máximo, $a=0$ ). En la curva azul, B2 y B4 son velocidades máximas ( $x=0$ , $a=0$ ) y B1 y B3 son instantes de reposo ( $x=\pm A$ , $a$ máximo).

Contenido de la página

2. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

Un grupo de sensores especializados toma los datos de posición, velocidad y aceleración del movimiento del muelle y su reflexión en el movimiento circular, tal como se muestran en las siguientes gráficas:

POSICIÓN VERSUS TIEMPO

Curva roja en forma de coseno.
Se señalan tres puntos: A1 (máximo positivo de la posición), A2 (cruce del eje horizontal, posición de equilibrio) y A3 (mínimo, máximo desplazamiento negativo).
Se ilustra un muelle con una caja suspendida y un cronómetro que marca el tiempo.

Fuente de la gráfica: https://ln9.cl/dl3m5

VELOCIDAD VERSUS TIEMPO

Curva azul, desfasada respecto de la curva roja.
Se señalan cuatro puntos: B1 y B3 (cruces por el eje, donde $v = 0$ ), B2 (velocidad mínima, $-v_{\max}$ ) y B4 (velocidad máxima, $+v_{\max}$ ).
Se ilustra de nuevo el muelle con la caja y un cronómetro.

Fuente de la gráfica: https://ln9.cl/xww7z

Ejemplos resueltos

Un muelle oscila con amplitud $A = 5\,\text{cm}$ y período $T = 2\,\text{s}$ . Calcular la frecuencia angular, la velocidad máxima y la aceleración máxima.

Frecuencia angular: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2\,\text{s}} = \pi\,\text{s}^{-1} \approx 3{,}14\,\text{s}^{-1}$ .
Velocidad máxima: $v_{\max} = A\omega = (0{,}05\,\text{m})(\pi\,\text{s}^{-1}) \approx 0{,}157\,\text{m/s}$ .
Aceleración máxima: $a_{\max} = A\omega^2 = (0{,}05\,\text{m})(\pi\,\text{s}^{-1})^2 \approx 0{,}49\,\text{m/s}^2$ .

Tabla

Punto	Gráfica	Valor	Posición del muelle	Velocidad	Aceleración
A1	Posición–tiempo	máximo	$x=+A$	$v=0$	$a=-\omega^2 A$ (máx.)
A2	Posición–tiempo	cruce del eje	$x=0$	$v=\pm A\omega$ (máx.)	$a=0$
A3	Posición–tiempo	mínimo	$x=-A$	$v=0$	$a=+\omega^2 A$ (máx.)
B1	Velocidad–tiempo	cruce del eje	$x=\pm A$	$v=0$	$\|a\|=a_{\max}$
B2	Velocidad–tiempo	mínimo	$x=0$	$v=-A\omega$	$a=0$
B3	Velocidad–tiempo	cruce del eje	$x=\pm A$	$v=0$	$\|a\|=a_{\max}$
B4	Velocidad–tiempo	máximo	$x=0$	$v=+A\omega$	$a=0$

Diagrama

flowchart TD
    A["Muelle con masa: equilibrio en x=0"] --> B["Oscila: x(t) = A cos(ωt + φ)"]
    B --> C["v(t) = dx/dt = -Aω sin(ωt + φ)"]
    B --> D["a(t) = dv/dt = -ω² x(t)"]
    C --> E["Máximo |v| = Aω cuando x = 0"]
    D --> F["|a| máximo = Aω² cuando x = ±A"]
    B --> G["Proyección de MCU con radio r = A"]
    G --> H["a_centrípeta = Aω² = a máx"]

Fórmulas y ecuaciones

x(t) = $A\cos(\omega$ t + $\varphi)$

v(t) = $-A\omega\sin(\omega$ t + $\varphi)$

a(t) = $-\omega^2$ x(t)

$v_{\max}$ = $A\omega,\quad$ $a_{\max}$ = $A\omega^2$

T = $2\pi$ $\sqrt{\frac{m}{k}}$

x(t) = $A\cos(\omega$ t + $\varphi)$

v(t) = $\frac{dx}{dt}$ = $-A\omega\sin(\omega$ t + $\varphi)$

a(t) = $\frac{dv}{dt}$ = $-A\omega^2\cos(\omega$ t + $\varphi)$ = $-\omega^2$ x(t)

$\omega$ = $\frac{2\pi}{T}$ = $2\pi$ f

$v_{\max}$ = $A\omega$

$a_{\max}$ = $A\omega^2$

F = -kx

T = $2\pi$ $\sqrt{\frac{m}{k}}$

$v^2$ + $\omega^2$ $x^2$ = $(A\omega)^2$

Glosario (7)

Movimiento armónico simple (MAS): Movimiento oscilatorio en el que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto (F = -kx); la posición varía como una función sinusoidal del tiempo.
Amplitud (A): Valor máximo del desplazamiento respecto de la posición de equilibrio.
Periodo (T): Tiempo que tarda el oscilador en completar un ciclo completo de su movimiento.
Frecuencia angular (ω): Número de ciclos por segundo medidos en radianes, relacionada con el período por ω = 2π/T.
Posición de equilibrio: Posición en la que la fuerza restauradora es nula; es el punto alrededor del cual oscila el cuerpo.
Desfase: Diferencia constante en el tiempo entre dos ondas o curvas periódicas; en el MAS, velocidad y posición están desfasadas 90°.
Aceleración armónica: Aceleración del MAS, dirigida siempre hacia el equilibrio y proporcional al desplazamiento: a = -ω²x.

Preguntas para practicar

¿Qué información aportan los sensores a la hora de representar el movimiento de un muelle?

Los sensores registran de forma continua la posición, la velocidad y la aceleración respecto del tiempo, lo que permite construir las gráficas $x(t)$, $v(t)$ y $a(t)$ y extraer magnitudes como la amplitud, el período, la frecuencia angular y la aceleración máxima, verificando así la ley $a=-\omega^2x$ del movimiento armónico simple.

¿Por qué la curva de velocidad está desfasada con respecto a la curva de posición?

Porque la velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo, y la derivada de una función coseno senoidal es una seno con signo negativo, lo que implica un desfase de $\pi/2$ (un cuarto de ciclo): cuando la posición es máxima, la pendiente —es decir, la velocidad— es nula.

¿Qué representa la aceleración en el movimiento armónico simple?

La aceleración es el producto de la aceleración centrípeta del movimiento circular uniforme proyectado sobre el diámetro: es máxima en los extremos de la oscilación, donde la fuerza restauradora es máxima, y se anula al pasar el cuerpo por su posición de equilibrio, siempre dirigida hacia ella.

Temas y conceptos clave

Movimiento armónico simple de un muelleGráficas de posición versus tiempoGráficas de velocidad versus tiempoReflexión del MAS en el movimiento circular uniformemovimiento armónico simpleamplitudperiodofrecuencia angularposición de equilibriovelocidad máximaaceleración máximadesfase de 90°proyección de un movimiento circular

Fuentes y referencias

https://ln9.cl/dl3m5 (gráfico de posición versus tiempo)
https://ln9.cl/xww7z (gráfico de velocidad versus tiempo)

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Figuras de la página (1)

Gráfica de POSICIÓN VERSUS TIEMPO: curva roja senoidal con tres puntos señalados A1 (máximo), A2 (cruce del eje, punto de equilibrio) y A3 (mínimo). Al lado se muestra un muelle fijo en un soporte con una caja suspendida y un cronómetro. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué significan los puntos extremos en la gráfica de posición versus tiempo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué la curva de velocidad está desfasada 90° respecto de la curva de posición?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se relaciona el movimiento armónico simple con el movimiento circular uniforme?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Derivadas elementales y sus significados físico-geométricos
• Relación entre velocidad y pendiente de la gráfica posición-tiempo
• Conceptos de amplitud, período, frecuencia y frecuencia angular
• Movimiento circular uniforme y aceleración centrípeta

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Actividades de la página 98: interpretación de los datos de sensores y cálculo de amplitud, período y aceleración máxima

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Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

Un grupo de sensores especializados toma los datos de posición, velocidad y aceleración del movimiento del muelle y su reflexión en el movimiento circular, tal como se muestra en las siguientes gráficas:

POSICIÓN VERSUS TIEMPO

ROJO-DESPLAZAMIENTO

Al A2 A3 ( Fuente: https://n9.cl/ld3m5 VELOCIDAD VERSUS TIEMPO e. 3 YO ¡UE As AZUL - VELOCIDAD B4 B3 B2

Fuente: https:/in9.clixww7z

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