La actividad a) pide, a partir de la información del taller (la escáner que se le descompuso a un técnico usa un amortiguador), calcular teóricamente: (i) la ecuación de la velocidad y de la aceleración para un tiempo t; (ii) las gráficas de posición y velocidad versus tiempo; (iii) la velocidad máxima del amortiguador.
Nota de integridad: los datos numéricos del amortiguador (masa m, constante del resorte k y coeficiente de amortiguamiento b) están en la página anterior, la cual no aparece en esta imagen. Se resuelve, por lo tanto, de forma general y se incluye un ejemplo ilustrativo con valores típicos.
· Ecuación de velocidad y aceleración
Un amortiguador es un sistema masa–resorte–amortiguador, gobernado por la 2.ª ley de Newton:
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -kx - b\frac{dx}{dt}
Dividiendo entre m:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{b}{m}\frac{dx}{dt} + \frac{k}{m}x = 0
Definimos la frecuencia angular natural y el parámetro de amortiguamiento:
\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \gamma = \frac{b}{2m}
Caso subamortiguado (lo típico de un amortiguador que oscila), \gamma < \omega_{0}, con \omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2}} (frecuencia amortiguada):
x(t) = A\,e^{-\gamma t}\cos(\omega_{d}t + \phi)
- Derivamos para obtener la velocidad:
v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\,e^{-\gamma t}\left[\gamma\cos(\omega_{d}t + \phi) + \omega_{d}\sin(\omega_{d}t + \phi)\right]
Con \cos(\omega_{d}t+\phi) = -\gamma/(\sqrt{\gamma^{2}+\omega_{d}^{2}}) en el máximo, la envolvente de v es A\,e^{-\gamma t}\sqrt{\gamma^{2}+\omega_{d}^{2}}.
Derivamos de nuevo para la aceleración:
a(t) = \frac{dv}{dt} = A\,e^{-\gamma t}\left[(\gamma^{2}-\omega_{d}^{2})\cos(\omega_{d}t+\phi) + 2\gamma\omega_{d}\sin(\omega_{d}t+\phi)\right]
y también se cumple directamente a(t) = -\frac{k}{m}x(t) - \frac{b}{m}v(t), útil para la verificación numérica.
Caso crítico (\gamma = \omega_{0}): x(t) = (C_{1}+C_{2}t)e^{-\gamma t}, v(t) = [C_{2}-\gamma(C_{1}+C_{2}t)]e^{-\gamma t}.
Caso sobreamortiguado (\gamma > \omega_{0}): no hay oscilación, x(t) = C_{1}e^{-r_{1}t}+C_{2}e^{-r_{2}t} con r_{1,2}=\gamma\pm\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}.
Ejemplo ilustrativo (valores típicos, no los del libro): m = 2\,\text{kg}, k = 50\,\text{N/m}, b = 2\,\text{kg/s}.
- \omega_{0} = \sqrt{\dfrac{50}{2}} = 5\,\text{rad/s}
- \gamma = \dfrac{2}{2(2)} = 0{,}5\,\text{s}^{-1}
- \omega_{d} = \sqrt{5^{2}-0{,}5^{2}} = \sqrt{24{,}75} \approx 4{,}975\,\text{rad/s}
- Si en t=0 la masa parte del reposo desde x_{0}=0{,}1\,\text{m}: \phi=0 y
x(t) \approx 0{,}1\,e^{-0{,}5t}\cos(4{,}975\,t)\,\text{m}
v(t) \approx 0{,}1\,e^{-0{,}5t}\left[0{,}5\cos(4{,}975\,t) + 4{,}975\sin(4{,}975\,t)\right]\,\text{m/s}
a(t) = -\frac{k}{m}x(t)-\frac{b}{m}v(t) = -25\,x(t)-1\,v(t)
· Gráficas de posición y velocidad versus tiempo
- x vs t: coseno decreciente con envolvente A e^{-\gamma t}; arranca en x_{0}=0{,}1\,\text{m}, se cruza en cada semiperiodo T_{d}=\dfrac{2\pi}{\omega_{d}} \approx 1{,}26\,\text{s} y tiende a x=0.
- v vs t: sinusoidal decreciente; empieza en v(0)=0 (partida desde el reposo) y alcanza el primer máximo en
t_{p} = \frac{1}{\omega_{d}}\arctan\!\left(\frac{\omega_{d}}{\gamma}\right) \approx \frac{1}{4{,}975}\arctan(9{,}95) \approx 0{,}25\,\text{s}
- Ambas gráficas van envueltas por la exponencial e^{-\gamma t}; la gráfica de a vs t es un coseno decreciente 180° en contrafase con x (más un término en v).
· Velocidad máxima del amortiguador
La envolvente de la velocidad es V(t)=A\,e^{-\gamma t}\sqrt{\gamma^{2}+\omega_{d}^{2}}, que es decreciente; por tanto el máximo global ocurre en el primer extremo de v (en t_{p}):
\boxed{v_{\max} = A\,e^{-\gamma t_{p}}\sqrt{\gamma^{2}+\omega_{d}^{2}}}, \qquad t_{p} = \frac{1}{\omega_{d}}\arctan\!\left(\frac{\omega_{d}}{\gamma}\right)
En el caso de partir del reposo con desplazamiento inicial x_{0} (y \phi=0), A=x_{0} y:
v_{\max} = x_{0}\,e^{-\gamma t_{p}}\sqrt{\gamma^{2}+\omega_{d}^{2}} = x_{0}\,\omega_{0}\,e^{-\frac{\gamma}{\omega_{d}}\arctan\!\left(\frac{\omega_{d}}{\gamma}\right)}
(Nota: \gamma^{2}+\omega_{d}^{2}=\omega_{0}^{2}.)
Con el ejemplo:
v_{\max} \approx 0{,}1\times e^{-0{,}5\times 0{,}25}\times \sqrt{0{,}25+24{,}75} = 0{,}1\times 0{,}8825\times 5 \approx 0{,}44\,\text{m/s}
Respuesta orientativa para el técnico: para reemplazar el amortiguador hay que asegurar que su v_{\max} soporte esta magnitud; una disminución de b (menor \gamma) aumenta v_{\max} y hace la oscilación más persistente, mientras que un b mayor la reduce.
