Período de un reloj de péndulo: informe técnico con oscilaciones

Un reloj de péndulo funciona por el movimiento periódico y oscilatorio de la péndola; se pide determinar el período del péndulo con una longitud L = 70 \, \text{cm}, una masa (lenteja) de m = 500 \, \text{g} y una abertura (amplitud) actual de \theta_0 = 16^\circ.

Paso 1: Conversiones a unidades del SI

Longitud: L = 70 \, \text{cm} = 70 \times 10^{-2} \, \text{m} = 0{,}70 \, \text{m}

Masa: m = 500 \, \text{g} = 500 \times 10^{-3} \, \text{kg} = 0{,}500 \, \text{kg}

Amplitud (solo referencia, no entra en la fórmula): \theta_0 = 16^\circ

Paso 2: Fórmula del período de un péndulo simple

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

con g = 9{,}8 \, \text{m/s}^{2}.

Paso 3: Sustitución de los valores

T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}70 \, \text{m}}{9{,}8 \, \text{m/s}^{2}}}

T = 2\pi\sqrt{0{,}0714 \, \text{s}^{2}}

T = 2\pi(0{,}2673 \, \text{s})

T = 1{,}679 \, \text{s} \approx 1{,}68 \, \text{s}

Paso 4: Verificación de la amplitud de 16°

Para pequeñas oscilaciones (\theta_0 \lesssim 10^\circ) el período es independiente de la amplitud y de la masa. Con \theta_0 = 16^\circ la corrección aproximada (desarrollo en serie) es:

T \approx T_0\left(1 + \frac{1}{16}\,\theta_0^{2}\right), \qquad \theta_0 \text{ en radianes}

\theta_0 = 16 \times \frac{\pi}{180} = 0{,}2793 \, \text{rad}

\frac{1}{16}(0{,}2793)^{2} = 0{,}0049

T \approx 1{,}679 \times 1{,}0049 = 1{,}687 \, \text{s}

Es decir, la diferencia es de apenas 0{,}008 \, \text{s}, por lo que el valor 1{,}68 \, \text{s} es válido para el informe técnico.

Paso 5: Magnitudes complementarias del informe

Frecuencia: f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1{,}679 \, \text{s}} = 0{,}596 \, \text{Hz}

Número de oscilaciones por minuto: n = 60 \times f = 60 \times 0{,}596 = 35{,}7 \, \text{osc/min}