Péndulo de reloj: velocidad máxima, energía cinética y ajuste de periodos

Enunciado: ¿Cuál es la velocidad máxima de la lenteja (masa del péndulo) del reloj?

El péndulo oscila entre su posición más baja (punto de equilibrio) y los extremos de la apertura. Usamos la conservación de la energía mecánica entre un extremo y la posición inferior.

1. En el extremo de la apertura, la altura sobre el punto más bajo es h = L\,(1-\cos\theta_0) siendo L la longitud del brazo o cuerda y \theta_0 el ángulo de amplitud (apertura total).

2. En el extremo el péndulo está en reposo, por lo que toda su energía es potencial: E_p = m\,g\,h = m\,g\,L\,(1-\cos\theta_0)

3. En la posición más baja la energía potencial es cero y toda es cinética: E_c = \frac{1}{2}\,m\,v_{max}^2 = m\,g\,L\,(1-\cos\theta_0)

4. Despejamos la velocidad máxima: v_{max}^2 = 2\,g\,L\,(1-\cos\theta_0) \boxed{v_{max} = \sqrt{2\,g\,L\,(1-\cos\theta_0)}}

Equivalente usando el ángulo semi-amplitud: \cos\theta_0 = 1-\dfrac{\theta_0^2}{2} (para amplitudes pequeñas), de modo que v_{max} \approx \theta_0\,\sqrt{g\,L}.

También puede escribirse como v_{max} = \omega\,A, con \omega = \dfrac{2\pi}{T} y A = L\,\theta_0 el arco de apertura.

Enunciado: La energía cinética en su apertura total.

1. La "apertura total" es la posición de amplitud máxima, donde el brazo forma el ángulo \theta_0 con la vertical.

2. En esos extremos de la trayectoria el péndulo se detiene un instante antes de invertir el sentido del movimiento: v = 0 \quad \text{en la apertura total}

3. Sustituyendo en la energía cinética: E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{1}{2}\,m\,(0)^2 = 0

4. Verificación de coherencia con la conservación de la energía: en la apertura total, E_{total} = E_p = m\,g\,L\,(1-\cos\theta_0) E_c = E_{total} - E_p = 0 \quad \checkmark

(Si el enunciado se refiere a la energía cinética en el punto de apertura inferior —máxima velocidad—, entonces E_{c,max} = \frac{1}{2}m\,v_{max}^2 = m\,g\,L\,(1-\cos\theta_0), valor máximo del ciclo.)

Enunciado: Si el reloj se encuentra atrasado, ¿qué se debería hacer con el brazo o cuerda del péndulo?

1. El período de un péndulo simple es T = 2\pi\,\sqrt{\frac{L}{g}}

2. Un reloj "atrás" significa que su periodo es mayor que el correcto (tarda más en dar cada oscilación y, por consiguiente, corre lento): T_{reloj} > T_{correcto}

3. Para disminuir el período debemos disminuir L, porque T \propto \sqrt{L}: T' = 2\pi\,\sqrt{\frac{L'}{g}} < T \quad \text{cuando } L' < L

4. Por lo tanto, hay que acortar el brazo o la cuerda del péndulo: subir la lenteja (la masa) hacia el punto de suspensión mediante el regulador del reloj.

5. Verificación inversa: si el reloj adelanta (T < T_{correcto}), se debe alargar el brazo (L' > L) para aumentar el período.