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Periodo de una lenteja con cuerda y su velocidad en apertura de 5°

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Respuesta rápida

105.b) $T' = T/\sqrt{2} \approx 0{,}71\,T$ (periodo disminuye). 105.c) $T'' = \sqrt{2}\,T \approx 1{,}41\,T$ (periodo aumenta). 105.d) $v = \sqrt{gL\sin\theta\tan\theta} \approx 0{,}27\;\text{m/s}$ con $L = 1\;\text{m}$ y $\theta = 5^{\circ}$ .

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 106

Fisica 1° · 2024

105

Ejercicio 105

Esta página continúa un ejercicio de laboratorio sobre una lenteja sujeta por una cuerda (experimento de la «lenteja») que describe su movimiento circular y el periodo de sus vueltas. Las cuadrículas son el área de trabajo para graficar el desarrollo de cada pregunta. Como la página 105 no incluye la longitud de la cuerda $L$ ni los datos iniciales (que están en la página anterior), se resuelve de forma general en función de $L$ y $g = 9{,}8\;\text{m/s}^{2}$ .

Modelo físico (recuperado de la página previa):

La lenteja gira en un círculo horizontal sostenida por una cuerda que forma un ángulo $\theta$ con la vertical (péndulo cónico).
El periodo de una vuelta completa es $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ , es decir, $T \propto \sqrt{L}$ .
La velocidad de la lenteja depende del ángulo (apertura) y de la longitud de la cuerda.

Parte 105.b

Enunciado: El periodo si la cuerda o brazo disminuye a la mitad.

Estado inicial: $T_{1} = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ .
Nueva longitud: $L' = \dfrac{L}{2}$ .
Sustituyo en la fórmula: $T' = 2\pi\sqrt{\dfrac{L/2}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{2g}}$ .
Extraigo el factor $\sqrt{1/2}$ : $T' = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\right) = \dfrac{T_{1}}{\sqrt{2}}$ .
Como $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ : $T' \approx 0{,}707\, T_{1} \approx 0{,}71\, T_{1}$ .

Respuesta

$T' = \dfrac{T}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71\,T$ : el periodo se reduce aproximadamente a $71\%$ del valor original (p. ej., si $T = 2{,}0\;\text{s}$ , entonces $T' \approx 1{,}41\;\text{s}$ ).

Parte 105.c

Enunciado: El periodo si la cuerda o brazo aumenta al doble.

Estado inicial: $T_{1} = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ .
Nueva longitud: $L'' = 2L$ .
Sustituyo: $T'' = 2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{g}} = \sqrt{2}\left(2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\right) = \sqrt{2}\,T_{1}$ .
Como $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ : $T'' \approx 1{,}41\,T_{1}$ .

Comparación: al duplicar la longitud el periodo crece más (factor $1{,}41$ ) de lo que decrece al reducirla a la mitad (factor $0{,}71$ ), porque $T$ depende de la raíz cuadrada de $L$ , no de $L$ directamente.

Respuesta

$T'' = \sqrt{2}\,T \approx 1{,}41\,T$ : el periodo aumenta alrededor de $41\%$ (p. ej., si $T = 2{,}0\;\text{s}$ , entonces $T'' \approx 2{,}83\;\text{s}$ ).

Parte 105.d

Enunciado: ¿Cuál es la velocidad de la lenteja en una apertura de 5 grados?

La «apertura» es el ángulo $\theta = 5^{\circ}$ entre la cuerda y la vertical (o el ángulo de inclinación de la cuerda). En el péndulo cónico, la velocidad es

$v = \sqrt{g\,L\,\sin\theta\,\tan\theta}$

Convierto el ángulo a radianes para la fórmula: $\theta = 5^{\circ} \times \dfrac{\pi}{180^{\circ}} \approx 0{,}0873\;\text{rad}$ .
Calculo las funciones trigonométricas: $\sin 5^{\circ} \approx 0{,}0872$ y $\tan 5^{\circ} \approx 0{,}0875$ .
Sustituyo en la fórmula: $v = \sqrt{9{,}8 \times L \times 0{,}0872 \times 0{,}0875} = \sqrt{0{,}0752\,L}$ .
Para $L = 1{,}0\;\text{m}$ : $v = \sqrt{0{,}0752} \approx 0{,}27\;\text{m/s}$ .
Comprobación con el movimiento circular: $v = \omega r$ , con $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \sqrt{\dfrac{g}{L}}$ y radio $r = L\sin\theta = 1{,}0 \times 0{,}0872 = 0{,}0872\;\text{m}$ ; entonces $v = \sqrt{9{,}8} \times 0{,}0872 \approx 0{,}27\;\text{m/s}$ (idéntico resultado).

Otra interpretación posible (si «apertura» es el ángulo de la oscilación de un péndulo simple): $v = \sqrt{2gL(1-\cos\theta)}$ ; con $L = 1{,}0\;\text{m}$ y $\theta = 5^{\circ}$ , $v = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 1{,}0 \times (1-0{,}9962)} = \sqrt{0{,}0745} \approx 0{,}27\;\text{m/s}$ , valor igual porque $1-\cos\theta \approx \sin\theta\tan\theta$ para ángulos pequeños.

Áreas de cuadrícula: en cada recuadro se debe trazar la gráfica correspondiente: (b) la curva $T(L)$ decreciente con un punto en $L/2$ ; (c) la misma curva con un punto en $2L$ ; (d) la curva $v(\theta)$ creciente, con el valor $v \approx 0{,}27\;\text{m/s}$ marcado en $\theta = 5^{\circ}$ .

Respuesta

$v \approx 0{,}27\;\text{m/s}$ para $L = 1{,}0\;\text{m}$ y $\theta = 5^{\circ}$ ; en general $v = \sqrt{0{,}0752\,L}\;\text{m/s}$ (con $L$ en metros), muy baja porque $\theta$ es un ángulo pequeño.

Contenido de la página

Continuación del ejercicio sobre la lenteja y su cuerda (página 105)

b) El periodo si la cuerda o brazo disminuye a la mitad. (cuadrícula para trazar la gráfica)

c) El periodo si la cuerda o brazo aumenta al doble. (cuadrícula para trazar la gráfica)

d) ¿Cuál es la velocidad de la lenteja en una apertura de 5 grados? (cuadrícula para trazar la gráfica)

Pie de página: Texto de Física — 105

Ejemplos resueltos

Un péndulo de L = 1,0 m tiene periodo T = 2,01 s. ¿Cuál es el periodo si se duplica la cuerda?

$T'' = \sqrt{2}\,T = \sqrt{2} \times 2{,}01\;\text{s} \approx 2{,}84\;\text{s}$ .

Tabla

Situación	Longitud de la cuerda	Periodo	Factor respecto al original
Inicial	L	T = 2π√(L/g)	1
Parte b)	L/2	T' = T/√2	≈ 0,71 (reduce un 29 %)
Parte c)	2L	T'' = √2·T	≈ 1,41 (aumenta un 41 %)

Diagrama

flowchart LR
  A[Longitud L de la cuerda] --> B[T = 2π√(L/g)]
  B --> C[L se divide entre 2  →  T se divide entre √2 ≈ 0,71]
  B --> D[L se duplica  →  T se multiplica por √2 ≈ 1,41]
  E[Apertura θ = 5°] --> F[v = √(g·L·senθ·tanθ)]
  F --> G[v ≈ 0,27 m/s para L = 1 m]

Fórmulas y ecuaciones

T = $2\pi$ $\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

v = $\sqrt{g\,L\,\sin\theta\,\tan\theta}$

T = $2\pi$ $\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

T $\propto$ $\sqrt{L}$

T' = $\frac{T}{\sqrt{2}}$ $\approx$ $0{,}71\,T$

T'' = $\sqrt{2}$ $\,T$ $\approx$ $1{,}41\,T$

v = $\sqrt{g\,L\,\sin\theta\,\tan\theta}$

v = $\sqrt{2gL(1-\cos\theta)}$

v = $\omega$ $r,\quad$ $\omega$ = $\frac{2\pi}{T}$

r = $L\sin\theta$

Glosario (5)

Periodo (T): Tiempo que tarda un sistema en completar un ciclo o vuelta completa; se mide en segundos.
Péndulo cónico: Movimiento de un objeto suspendido por una cuerda que describe un círculo horizontal, formando un cono con la cuerda.
Apertura: Ángulo de la cuerda respecto de la vertical (o ángulo de oscilación) en el experimento de la lenteja.
Velocidad tangencial: Velocidad del objeto en la trayectoria circular, dirigida en cada instante tangente a la circunferencia.
Radio de la trayectoria: Distancia entre el eje de giro y la lenteja, igual a L·sen(θ) en el péndulo cónico.

Preguntas para practicar

¿Por qué el periodo depende de la raíz cuadrada de la longitud y no de la longitud directamente?

Porque la fórmula T = 2π√(L/g) proviene de equilibrar la componente gravitatoria mg·cos(θ) con el radio de la trayectoria; al aparecer L dentro de una raíz, duplicar L sólo multiplica T por √2 ≈ 1,41. Por eso una cuerda dos veces más larga no tarda el doble, sino 41% más.

¿Qué le ocurre a la velocidad de la lenteja si se aumenta la apertura manteniendo la misma cuerda?

Al aumentar θ aumentan sen(θ) y tan(θ), por lo que v = √(gL·senθ·tanθ) crece: la lenteja se aleja más del eje (r = L·senθ es mayor) y, al girar más rápido en círculos más amplios, su velocidad tangencial aumenta. La gráfica v(θ) en la cuadrícula de la parte d) es creciente.

Temas y conceptos clave

Dinámica circularPeriodo del pénduloEfecto de la longitud sobre el periodoVelocidad en movimiento circularperiodo Tlongitud L de la cuerdagravedad gapertura o ángulo θvelocidad tangencial vrelación de proporcionalidad T ∝ √L

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