José, estudiante de ingeniería, detecta una baja de tensión en su casa y mide con un multímetro la señal x = 150\,\text{sen}\,(120\pi t). Se debe construir la tabla de las medidas de voltaje en función del tiempo.
Identificación de los parámetros de la onda
- La ecuación tiene la forma general de una onda senoidal x(t) = A\,\text{sen}(\omega t + \varphi), donde A es la amplitud (valor máximo) y \omega la frecuencia angular.
- De la ecuación se lee directamente A = 150; como es una tensión, la amplitud es 150\,\text{V}.
- Se identifica \omega = 120\pi; no hay fase inicial, así que \varphi = 0.
- La frecuencia angular se relaciona con la frecencia ordinaria mediante \omega = 2\pi f, de donde:
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{120\pi}{2\pi} = 60\,\text{Hz}
- El periodo es el tiempo que tarda la señal en completar un ciclo:
T = \frac{1}{f} = \frac{1}{60}\,\text{s} \approx 0{,}01667\,\text{s} \approx 16{,}67\,\text{ms}
- El valor eficaz (RMS) de la señal senoidal se obtiene dividiendo la amplitud entre \sqrt{2}:
V_{\text{rms}} = \frac{A}{\sqrt{2}} = \frac{150}{\sqrt{2}} \approx \frac{150}{1{,}4142} \approx 106\,\text{V}
- Por lo tanto, el multímetro debe leer aproximadamente 106\,\text{V}, lo cual es coherente con la etiqueta de 110\,\text{V} que aparece en la pantalla del instrumento y con la mención del problema sobre la "baja de tensión".
Construcción de la tabla
- Para llenar la tabla se toman momentos equidistantes dentro de un periodo completo, es decir, valores de 120\pi t que van desde 0 hasta 2\pi (un ciclo completo).
- Como 120\pi t = \theta, entonces t = \dfrac{\theta}{120\pi}. Por ejemplo, para \theta = \dfrac{\pi}{2}:
t = \frac{\pi/2}{120\pi} = \frac{1}{240}\,\text{s} \approx 0{,}00417\,\text{s} = 4{,}17\,\text{ms}
- Se sustituye cada tiempo en x = 150\,\text{sen}(120\pi t); por ejemplo, en t = 4{,}17\,\text{ms}:
x = 150\,\text{sen}\!\left(120\pi \cdot \frac{1}{240}\right) = 150\,\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 150(1) = 150\,\text{V}
- Repitiendo el mismo procedimiento para todo el ciclo se obtiene la tabla de datos:
| t\,(\text{s}) | t\,(\text{ms}) | 120\pi t\,(\text{rad}) | \text{sen}(120\pi t) | x\,(\text{V}) |
|---|---|---|---|---|
| 0{,}00000 | 0{,}00 | 0 | 0 | 0 |
| 0{,}00139 | 1{,}39 | \pi/6 | 0{,}500 | 75{,}0 |
| 0{,}00278 | 2{,}78 | \pi/3 | 0{,}866 | 129{,}9 |
| 0{,}00417 | 4{,}17 | \pi/2 | 1{,}000 | 150{,}0 |
| 0{,}00556 | 5{,}56 | 2\pi/3 | 0{,}866 | 129{,}9 |
| 0{,}00694 | 6{,}94 | 5\pi/6 | 0{,}500 | 75{,}0 |
| 0{,}00833 | 8{,}33 | \pi | 0 | 0 |
| 0{,}00972 | 9{,}72 | 7\pi/6 | -0{,}500 | -75{,}0 |
| 0{,}01111 | 11{,}11 | 3\pi/2 | -1{,}000 | -150{,}0 |
| 0{,}01250 | 12{,}50 | 5\pi/3 | -0{,}866 | -129{,}9 |
| 0{,}01389 | 13{,}89 | 11\pi/6 | -0{,}500 | -75{,}0 |
| 0{,}01667 | 16{,}67 | 2\pi | 0 | 0 |
- Observación: los valores positivos se repiten en el segundo ciclo, de modo que la onda es periódica con T = 16{,}67\,\text{ms}. En la pantalla del multímetro se observan precisamente las dos curvas: la de amplitud mayor (150\,\text{V}) que es la señal medida, y la de amplitud menor que representa la lectura de 110\,\text{V} de la tensión nominal.
¿Sabías qué?
Pregunta (caja informativa): ¿Por qué los electrodomésticos, como los televisores, sufren desperfectos cuando hay una baja o una alta de tensión?
Respuesta orientativa: Los aparatos eléctricos están diseñados para funcionar dentro de un rango estrecho alrededor de la tensión nominal (110 V o 120 V en Ecuador). Si la tensión baja demasiado, los motores y fuentes de alimentación reciben menos energía de la que necesitan, sobrecalentándose y oxidando sus componentes; si la tensión sube, sobreviene una sobrecarga que puede quemar fusibles, placas y televisores. Las tormentas eléctricas, comunes en Ecuador, generan variaciones atmosféricas y descargas que provocan justo estas fluctuaciones bruscas.
la tabla de la tabla anterior; A = 150\,\text{V}, f = 60\,\text{Hz}, T = \frac{1}{60}\,\text{s} \approx 16{,}67\,\text{ms} y V_{\text{rms}} \approx 106\,\text{V}.
