Prueba 2: determinación de la constante elástica del resorte (k)

Enunciado: Se añaden las masas de los cuerpos conocidos y se obtienen los resultados siguientes, tomando en cuenta la masa del plato. Determino la constante del resorte mediante cálculos con base en la ecuación de la fuerza elástica.

Datos de la Prueba 2

1. Ecuación de la fuerza elástica (ley de Hooke): en el rango elástico, la fuerza es directamente proporcional al alargamiento:

F = k \cdot x \quad \Longrightarrow \quad k = \frac{F}{x}

2. Verificación de la fuerza con el peso de cada masa (ya incluida la masa del plato): F = m\,g, con g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}:

• F_1 = 0{,}020\ \text{kg} \times 9{,}8\ \text{m/s}^{2} = 0{,}196\ \text{N} ✓
• F_2 = 0{,}025\ \text{kg} \times 9{,}8\ \text{m/s}^{2} = 0{,}245\ \text{N} ✓
• F_3 = 0{,}030\ \text{kg} \times 9{,}8\ \text{m/s}^{2} = 0{,}294\ \text{N} ✓
• F_4 = 0{,}035\ \text{kg} \times 9{,}8\ \text{m/s}^{2} = 0{,}343\ \text{N} ✓
• F_5 = 0{,}040\ \text{kg} \times 9{,}8\ \text{m/s}^{2} = 0{,}392\ \text{N} ✓

3. Conversión del alargamiento a metros (la constante en SI se expresa en N/m):

• x_1 = 0{,}52\ \text{cm} = 0{,}0052\ \text{m}
• x_2 = 0{,}66\ \text{cm} = 0{,}0066\ \text{m}
• x_3 = 0{,}77\ \text{cm} = 0{,}0077\ \text{m}
• x_4 = 0{,}90\ \text{cm} = 0{,}0090\ \text{m}
• x_5 = 1{,}03\ \text{cm} = 0{,}0103\ \text{m}

• k_1 = \dfrac{0{,}196\ \text{N}}{0{,}0052\ \text{m}} = 37{,}7\ \text{N/m}
• k_2 = \dfrac{0{,}245\ \text{N}}{0{,}0066\ \text{m}} = 37{,}1\ \text{N/m}
• k_3 = \dfrac{0{,}294\ \text{N}}{0{,}0077\ \text{m}} = 38{,}2\ \text{N/m}
• k_4 = \dfrac{0{,}343\ \text{N}}{0{,}0090\ \text{m}} = 38{,}1\ \text{N/m}
• k_5 = \dfrac{0{,}392\ \text{N}}{0{,}0103\ \text{m}} = 38{,}1\ \text{N/m}

5. Valor promedio (el pequeño dispersión se debe a errores de lectura de la regla):

\bar{k} = \frac{37{,}7 + 37{,}1 + 38{,}2 + 38{,}1 + 38{,}1}{5}\ \text{N/m} = \frac{189{,}2}{5}\ \text{N/m} = 37{,}8\ \text{N/m}

6. Verificación con el gráfico F vs. x: al graficar la fuerza frente al alargamiento se obtiene una recta que pasa por el origen, cuya pendiente es la constante k. Mediante regresión de mínimos cuadrados:

\bar{x} = 0{,}776\ \text{cm},\qquad \bar{F} = 0{,}294\ \text{N}

\text{Pendiente} = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(F_i-\bar{F})}{\sum (x_i-\bar{x})^{2}} = \frac{0{,}06174}{0{,}15892} = 0{,}389\ \text{N/cm} = 38{,}9\ \text{N/m}

La recta resultante es F = 38{,}9\,x con intercepto casi nulo (\approx -0{,}008\ \text{N}), confirmando que F es directamente proporcional a x y que la constante es aproximadamente k \approx 38\ \text{N/m} (equivalente a 0{,}38\ \text{N/cm}).

7. Ecuación del resorte: F = 38\,x, con F en newtons y x en metros.