— literal a)
Enunciado. Determinar el resorte faltante mediante cálculos y colocar en la gráfica la constante del resorte a utilizar, el desplazamiento que realizará y las fuerzas de recuperación de cada resorte, en un sistema con configuración en paralelo. Uno de los resortes del técnico tiene K_{1} = 200\ \text{N/m} y la fuerza aplicada medida en el simulador es F = 51\ \text{N}.
Datos.
- Resorte superior: K_{1} = 200\ \text{N/m}.
- Resorte inferior: K_{2} = \ ? (hay que elegirlo entre los disponibles: 200, 140, 50, 100, 410, 80\ \text{N/m}).
- Fuerza aplicada: F = 51\ \text{N}.
- Configuración en paralelo: los dos resortes están unidos a un mismo bloque, por lo que ambos sufren el mismo desplazamiento x.
Paso 1. Relación fuerza–desplazamiento de un resorte.
La ley de Hooke dice que la fuerza de recuperación de cada resorte es F_{i} = K_{i}\, x, con x el alargamiento (o compresión) medido en metros.
Paso 2. Fuerza total en configuración en paralelo.
En paralelo las fuerzas de recuperación se suman porque actúan en el mismo sentido sobre el mismo bloque:
F = F_{1} + F_{2} = K_{1}x + K_{2}x = (K_{1} + K_{2})\,x
De aquí se despeja el desplazamiento común:
x = \frac{F}{K_{1} + K_{2}}
Paso 3. Prueba con los resortes disponibles.
Sustituimos F = 51\ \text{N} y K_{1} = 200\ \text{N/m} con cada valor de K_{2}:
| K_{2}\ (\text{N/m}) | K_{1}+K_{2}\ (\text{N/m}) | x = \dfrac{51}{K_{1}+K_{2}}\ (\text{m}) |
|---|---|---|
| 50 | 250 | 0,204 |
| 80 | 280 | 0,182 |
| 100 | 300 | 0,170 |
| 140 | 340 | 0,150 |
| 200 | 400 | 0,128 |
| 410 | 610 | 0,084 |
El único valor que produce un desplazamiento redondo, consistente con la escala de la simulación (condiciones normales de trabajo), es K_{2} = 140\ \text{N/m}, que da x = 0,15\ \text{m} = 15\ \text{cm} y fuerzas individuales de valor entero.
Paso 4. Constante equivalente del sistema en paralelo.
K_{\text{eq}} = K_{1} + K_{2} = 200 + 140 = 340\ \text{N/m}
Paso 5. Desplazamiento del bloque.
x = \frac{F}{K_{\text{eq}}} = \frac{51\ \text{N}}{340\ \text{N/m}} = 0{,}15\ \text{m} = 15\ \text{cm}
Paso 6. Fuerzas de recuperación de cada resorte.
Resorte superior (K_{1}=200\ \text{N/m}):
F_{1} = K_{1}\,x = 200\ \text{N/m} \times 0{,}15\ \text{m} = 30\ \text{N}
Resorte inferior (K_{2}=140\ \text{N/m}):
F_{2} = K_{2}\,x = 140\ \text{N/m} \times 0{,}15\ \text{m} = 21\ \text{N}
Verificación. La suma de ambas recuperaciones debe igualar la fuerza aplicada:
F_{1} + F_{2} = 30\ \text{N} + 21\ \text{N} = 51\ \text{N} = F \quad \checkmark
También se verifica por la ley de Hooke total: F = K_{\text{eq}}\,x = 340\ \text{N/m} \times 0{,}15\ \text{m} = 51\ \text{N}. \checkmark
Paso 7. Gráfica F versus x para colocar en la retícula.
Cada resorte genera una recta que pasa por el origen F = Kx; la pendiente es la constante K. Para graficar basta tomar x en el eje horizontal (de 0 a 0{,}20\ \text{m}) y F en el vertical (de 0 a 70\ \text{N}):
| x\ (\text{m}) | F_{1}=200x\ (\text{N}) | F_{2}=140x\ (\text{N}) | F_{\text{tot}}=340x\ (\text{N}) |
|---|---|---|---|
| 0{,}00 | 0 | 0 | 0 |
| 0{,}05 | 10 | 7 | 17 |
| 0{,}10 | 20 | 14 | 34 |
| 0{,}15 | 30 | 21 | 51 |
| 0{,}20 | 40 | 28 | 68 |
En la gráfica deben quedar marcadas tres rectas: la de pendiente 200 (resorte superior), la de pendiente 140 (resorte inferior, el elegido) y la de pendiente 340 (sistema en paralelo); el punto de trabajo está en x = 0{,}15\ \text{m}, donde la recta del sistema cruza F = 51\ \text{N}.
xychart-beta
title "Fuerza vs desplazamiento de los resortes"
x-axis "x (m)" [0.00, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20]
y-axis "F (N)" 0 --> 70
line [0, 10, 20, 30, 40]
line [0, 7, 14, 21, 28]
line [0, 17, 34, 51, 68]
El resorte faltante es el de K_{2} = 140\ \text{N/m}; el desplazamiento del sistema es x = 0{,}15\ \text{m} y las fuerzas de recuperación son F_{1} = 30\ \text{N} (superior) y F_{2} = 21\ \text{N} (inferior), cuya suma (51\ \text{N}) equivale a la fuerza aplicada.
