Desafío 1
Diseñar un experimento para explorar la fuerza elástica de un resorte: relacionar la elongación x con la fuerza aplicada F y aplicar la ley de Hooke.
Materiales y recursos
- Un resorte de constante elástica k desconocida.
- Pesas de distinta masa (p. ej. m = 0{,}10; 0{,}20; 0{,}30; 0{,}40; 0{,}50 \, \text{kg}).
- Regla o cinta métrica (precisión 1 \, \text{mm}).
- Soporte o pared vertical para fijar el resorte, un soporte con gancho y una bandeja o soporte para las pesas.
- Balanza para verificar cada masa.
Procedimiento paso a paso
- Fijación del resorte: se cuelga el resorte de un soporte vertical fijo, de modo que quede colgado libremente y en reposo.
- Longitud inicial: se mide con la regla la longitud L_{0} del resorte sin carga (sólo con su propio peso) y se anota. Esta es la posición de referencia de equilibrio.
- Carga progresiva: se cuelga una primera masa m_{1} en el extremo inferior y se espera a que el resorte deje de oscilar (equilibrio estático).
- Medición de la elongación: se mide la longitud L_{1} bajo carga y se calcula la elongación: x_{1} = L_{1} - L_{0}. Se expresa en metros.
- Registro de la fuerza: la fuerza aplicada es el peso de la carga, F_{1} = m_{1} g, con g = 9{,}8 \, \text{m/s}^{2} (o 9{,}81 \, \text{m/s}^{2}).
- Repetición: se repiten los pasos 3 a 5 con cada masa (m_{2}, m_{3}, \ldots) sin descargar nunca el resorte, para evitar errores por histéresis y para mantener el rango lineal (no se debe exceder el límite elástico).
- Tabla de datos: se organizan las columnas m, F = mg, L, x = L - L_{0}.
- Cálculo de k: para cada etapa se calcula k_{i} = F_{i}/x_{i}, y se obtiene el valor promedio \bar{k}. También se puede calcular k como pendiente de la recta de mínimos cuadrados de F vs. x.
- Gráfica: se traza el gráfico F (eje vertical) contra x (eje horizontal) y se verifica si los puntos caen sobre una recta que pasa por el origen.
Datos de ejemplo y análisis
Supongamos L_{0} = 10{,}0 \, \text{cm} y las siguientes mediciones:
| Etapa | m \, (\text{kg}) | F = mg \, (\text{N}) | L \, (\text{cm}) | x = L - L_{0} \, (\text{cm}) | x \, (\text{m}) | k = F/x \, (\text{N/m}) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,10 | 0,98 | 12,0 | 2,0 | 0,020 | 49,0 |
| 2 | 0,20 | 1,96 | 14,0 | 4,0 | 0,040 | 49,0 |
| 3 | 0,30 | 2,94 | 16,0 | 6,0 | 0,060 | 49,0 |
| 4 | 0,40 | 3,92 | 18,0 | 8,0 | 0,080 | 49,0 |
| 5 | 0,50 | 4,90 | 20,0 | 10,0 | 0,100 | 49,0 |
Cálculo de un ejemplo, etapa 3:
- F_{3} = m_{3} g = 0{,}30 \times 9{,}8 = 2{,}94 \, \text{N}.
- x_{3} = 16{,}0 - 10{,}0 = 6{,}0 \, \text{cm} = 6{,}0 \times 10^{-2} \, \text{m}.
- k_{3} = \dfrac{F_{3}}{x_{3}} = \dfrac{2{,}94}{0{,}060} = 49{,}0 \, \text{N/m}.
Se verifica la ley de Hooke F = k x: con k = 49{,}0 \, \text{N/m}, al cuartuplicar la carga respecto al primer punto, la elongación se cuadruplica (de 2{,}0 a 8{,}0 \, \text{cm}), confirmando la proporcionalidad directa.
Gráfica esperada
El gráfico F vs. x es una recta de pendiente positiva que pasa por el origen, ya que cuando x=0 la fuerza es F=0. Su pendiente es la constante elástica:
\text{pendiente} = \frac{\Delta F}{\Delta x} = \frac{4{,}90 - 0{,}98}{0{,}100 - 0{,}020} = \frac{3{,}92}{0{,}080} = 49{,}0 \, \text{N/m}
Reflexión
La ley de Hooke se aplica a los resortes cuando la deformación es pequeña y reversible: la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio y de sentido contrario, F_{\text{restauradora}} = -kx. En el experimento, la fuerza que estira el resorte es el peso mg, que equilibra a esa fuerza restauradora en cada etapa estática, de modo que mg = kx. La gráfica F vs. x es lineal porque k es constante para un mismo resorte; por eso la constante elástica aparece como la pendiente de la recta. A mayor pendiente, mayor es la fuerza necesaria para producir la misma elongación, es decir, mayor es la rigidez del resorte.
Metacognición
El experimento permite deducir que F = kx es válida mientras el resorte no supere su límite elástico; para el ejemplo, k = 49{,}0 \, \text{N/m}. Un resorte más rígido (mayor k) presentaría una recta más inclinada; uno más blando, menos inclinada.
