Enunciado: Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación: «El movimiento armónico simple posee una aceleración variable y nace del análisis de la reflexión del movimiento circular junto con el movimiento de un resorte, en el que se puede observar un movimiento repetitivo, periódico y oscilatorio, durante un intervalo de tiempo.»
(Las sub-actividades no aparecen en esta página; se presentan en la página siguiente.)
¿Por qué se dice que el MAS tiene aceleración variable?
- En el MAS la posición de la partícula varía con el tiempo según x(t) = A\cos(\omega t + \varphi).
- La velocidad es la derivada de la posición: v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi).
- La aceleración es la derivada de la velocidad: a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^{2}\cos(\omega t + \varphi).
- Como \cos(\omega t + \varphi) depende del tiempo, a cambia de valor y de signo en cada instante: el módulo oscila entre 0 y \omega^{2}A.
- Además, a(t) = -\omega^{2}x(t): la aceleración es proporcional al desplazamiento y siempre dirigida hacia el punto de equilibrio (sentido contrario al del desplazamiento).
porque la aceleración depende del tiempo según a(t) = -\omega^{2}A\cos(\omega t + \varphi); su módulo varía cíclicamente entre 0 y \omega^{2}A y su dirección se invierte en cada semiciclo, quedando siempre a = -\omega^{2}x.
¿Cómo se relaciona el MAS con el movimiento circular uniforme?
- Considérese una partícula P que gira en un círculo de radio A con velocidad angular constante \omega.
- El movimiento es x_{\text{circ}} = A\cos(\omega t), y_{\text{circ}} = A\sin(\omega t).
- Se «refleja» (proyecta) el movimiento sobre el diámetro horizontal: se toma solo la componente x_{\text{circ}}.
- La proyección x(t) = A\cos(\omega t) cumple exactamente a(t) = -\omega^{2}x(t), es decir, es un MAS.
- El periodo del MAS es igual al periodo de la rotación: T = \frac{2\pi}{\omega}.
proyectando un movimiento circular uniforme de radio A y frecuencia angular \omega sobre un diámetro se obtiene x = A\cos(\omega t), cuya aceleración es a = -\omega^{2}x; por lo tanto la proyección es un MAS con el mismo periodo T = 2\pi/\omega que la rotación.
¿Cómo surge el MAS en un resorte y cuál es su ecuación fundamental?
- Un bloque de masa m unido a un resorte de constante k experimenta, por la ley de Hooke, una fuerza restauradora F = -kx.
- Aplicando la segunda ley de Newton: ma = -kx.
- Despejando la aceleración: a = -\frac{k}{m}x.
- Comparando con a = -\omega^{2}x se identifica la frecuencia angular propia del oscilador: \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
- De \omega = \frac{2\pi}{T} se obtiene el periodo del péndulo de resorte: T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
- En el instante en que x = A, la aceleración alcanza su valor máximo a_{\text{máx}} = \frac{k}{m}A; en x = 0 se anula la fuerza y la aceleración vale cero, pero la velocidad es máxima (v_{\text{máx}} = \omega A).
la fuerza restauradora F = -kx implica a = -\frac{k}{m}x, es decir un MAS con \omega = \sqrt{k/m} y T = 2\pi\sqrt{m/k}.
¿Por qué el movimiento es «repetitivo, periódico y oscilatorio»?
- Repetitivo: la posición x(t) vuelve a su valor inicial cada periodo completo T, porque $ \cos(\omega(t+T)+\varphi) = \cos(\omega $t+\varphi) con $T = $2\pi/\omega.
- Periódico: existen magnitudes (posición, velocidad, aceleración) que se repiten idénticas en intervalos iguales a T (posición, aceleración), T/2 (velocidad y aceleración de signo cambiado) o T/4 (módulos).
- Oscilatorio: la partícula pasa repetidamente por el equilibrio (x=0) alternando sentidos, con amplitud constante A en ausencia de rozamiento, es decir, sin pérdida de energía.
- Durante todo el intervalo se conserva la energía total E = \frac{1}{2}kA^{2} = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}kx^{2}.
Respuestas finales: a) a(t) = -\omega^{2}A\cos(\omega t+\varphi), aceleración variable dirigida al equilibrio; b) proyección sobre un diámetro de un círculo de radio A: x = A\cos(\omega t) con T = 2\pi/\omega; c) F = -kx \Rightarrow a = -\frac{k}{m}x \Rightarrow T = 2\pi\sqrt{m/k}; d) el periodo T = 2\pi/\omega hace que la trayectoria se repita indefinidamente.
el estado del sistema se repite exactamente cada periodo T = 2\pi/\omega, el cuerpo oscila en torno a una posición de equilibrio pasando por ella de forma alterna, y la energía mecánica E = \frac{1}{2}kA^{2} permanece constante.
