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Vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración en el MSH de un muelle

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Respuesta rápida

La aceleración (negro) siempre es antiparalela al desplazamiento (rojo), con a = -ω²x; la velocidad (azul) es máxima en el equilibrio, se anula en los extremos y está desfasada π/2 respecto a x. El círculo verde representa la proyección del movimiento circular uniforme.

📚 theory fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 3 min lectura

Solución — Página 95

Fisica 1° · 2024

Contenido de la página

Esta página (n.º 94 del libro de Física de bachillerato, Ecuador) presenta dos fotografías —la segunda y la tercera— de un sistema resorte–masa que oscila en movimiento armónico simple (MSH), tomadas de una simulación digital. En ambas se destacan tres vectores codificados por color:

ROJO — Desplazamiento ( $\vec{x}$ ): mide la separación de la masa respecto a la posición de equilibrio del resorte.
AZUL — Velocidad ( $\vec{v}$ ): indica la rapidez y el sentido instantáneo en que la masa se mueve.
NEGRO — Aceleración ( $\vec{a}$ ): señala el sentido de la aceleración instantánea, producto de la fuerza restauradora del muelle.

Junto al muelle aparece un círculo verde de referencia, cuya proyección vertical reproduce las oscilaciones de la masa: el movimiento armónico simple es la proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro.

Marco físico

Para un muelle de constante $k$ y una masa $m$ , la ecuación de Newton es $\sum F_x = -k x = m a_x$ , de donde

$a_x = -\frac{k}{m}\,x = -\omega^2 x, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$

La solución cinemática es

$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi),$ $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi),$ $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^{2}\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^{2}x(t).$

Lectura de las fotografías

Segunda fotografía: la masa se encuentra alejada del equilibrio; el desplazamiento (rojo) y la aceleración (negro) tienen sentidos opuestos, porque el muelle tira de la masa hacia la posición de reposo: la aceleración es restauradora y es máxima cuando $|x|$ es máxima.
Tercera fotografía: la masa ha avanzado hacia otra posición de la oscilación; el vector de velocidad (azul) es tangente al círculo de referencia y, en esta fase, no es paralelo ni antiparalelo al desplazamiento, lo que muestra que la velocidad pasa por su valor máximo al cruzar el equilibrio y se anula en los extremos.

Conclusiones clave

La aceleración y el desplazamiento son siempre antiparalelos ( $a_x = -\omega^2 x$ ): por eso el MSH es un movimiento armónico, no uniforme.
La velocidad y el desplazamiento están desfasados en $\pi/2$ ( $90^\circ$ ): cuando $x$ es máximo, $v = 0$ ; cuando $x = 0$ , $|v|$ es máximo.
La magnitud máxima de la aceleración es $a_{\max} = \omega^{2}A$ , y la de la velocidad $v_{\max} = \omega A$ .
El círculo de referencia (círculo auxiliar) permite escribir las proyecciones: $x = A\cos\theta$ , $v = -A\omega\sin\theta$ y $a = -A\omega^{2}\cos\theta$ .

flowchart TD
    A[Resorte deformado] --> B[Fuerza restauradora F = -k x]
    B --> C[Aceleracion a = -k/m x = -omega^2 x]
    C --> D[Movimiento armonico simple x = A cos(omega t)]
    D --> E[Velocidad v = -A omega sen(omega t)]
    D --> F[Aceleracion a = -A omega^2 cos(omega t)]
    E -.desfase de pi/2 con x.-> D
    F -.antiparalela a x, desfase de pi.-> D

Respuesta: En el MSH de un muelle, el vector de aceleración (negro) es siempre opuesto al desplazamiento (rojo) y su magnitud es $a = \omega^{2}x$ , mientras que la velocidad (azul) alcanza su máximo en el equilibrio y se anula en los extremos, estando desfasada un cuarto de ciclo con el desplazamiento.

Contenido de la página

Vectores en el movimiento armónico simple de un muelle-masa

Segunda fotografía

Se muestra un bloque de madera suspendido de un muelle vertical. El bloque se encuentra alejado de su posición de equilibrio. Sobre él y junto a un círculo verde de referencia se dibujan:

Un vector rojo que representa el desplazamiento respecto al equilibrio.
Un vector azul que representa la velocidad instantánea.
Un vector negro que representa la aceleración instantánea.

La leyenda inferior indica: ROJO–DESPLAZAMIENTO, AZUL–VELOCIDAD, NEGRO–ACELERACIÓN.

Tercera fotografía

En una fase posterior de la oscilación, el bloque ha desplazado a otra posición del ciclo. Nuevamente se dibujan los tres vectores junto al círculo verde, mostrando cómo cambian su longitud y dirección a lo largo del período. En esta etapa la velocidad (azul) tiene una orientación que no coincide ni con la del desplazamiento ni con la de la aceleración, evidenciando el desfase de $\pi/2$ entre $x$ y $v$ .

Fuentes citadas en la página

Fuente: $http://www.phy.hk/wiki/Eng/springSHM/springSHM_js.htm$ (simulación del MSH de un resorte).
Fuentes de las fotografías: https://n9.cl/7251b y https://n9.cl/e7xmp.

Interpretación física

El bloque oscila según $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ . Como la fuerza neta es la fuerza elástica del muelle, $\sum F_x = -kx$ , la aceleración resulta

$a_x = -\frac{k}{m}\,x = -\omega^{2}x.$

De esta expresión se deduce que los vectores de desplazamiento y aceleración son siempre antiparalelos, y que la aceleración es máxima en los extremos del movimiento y nula al pasar la masa por el equilibrio. La velocidad, en cambio, se calcula como

$v_x = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi),$

lo que implica $v_x = 0$ cuando $x = \pm A$ y $|v_x|$ máximo ( $v_{\max} = A\omega$ ) cuando $x = 0$ .

El círculo verde representa el movimiento circular uniforme cuya proyección vertical es precisamente el MSH: si el punto describe el círculo con velocidad angular $\omega$ y radio $A$ , entonces su proyección sobre el eje vertical da $x = A\cos\theta$ ; la proyección de su velocidad tangencial da $v_x = -A\omega\sin\theta$ ; y la proyección de la aceleración centrípeta da $a_x = -A\omega^{2}\cos\theta$ .

Ejemplos resueltos

Un muelle de constante $k = 200\,\text{N/m}$ sostiene una masa de $m = 0{,}5\,\text{kg}$ . Si la masa se aparta $0{,}05\,\text{m}$ del equilibrio, ¿cuál es la aceleración instantánea y hacia dónde apunta?

Calculamos la frecuencia angular: $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{200/0{,}5} = \sqrt{400} = 20\,\text{rad/s}$ .
Aplicamos la relación del MSH: $a_x = -\omega^{2}x = -(20)^{2}(0{,}05) = -400 \times 0{,}05 = -20\,\text{m/s}^{2}$ .
El signo negativo indica que la aceleración apunta hacia el equilibrio, es decir, es opuesta al desplazamiento (vectors rojo y negro en sentido contrario). Respuesta: $a = 20\,\text{m/s}^{2}$ dirigida hacia la posición de equilibrio.

En el mismo sistema, ¿cuál es el período de oscilación y la velocidad máxima?

$T = 2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{0{,}5/200} = 2\pi\sqrt{0{,}0025} = 2\pi(0{,}05) = 0{,}314\,\text{s}$ .
$v_{\max} = A\omega = (0{,}05)(20) = 1{,}0\,\text{m/s}$ .
Como $v_{\max} = \omega A$ y $a_{\max} = \omega^{2}A$ , comprobamos que la velocidad es máxima justo cuando el desplazamiento (y por lo tanto la aceleración) es nulo. Respuesta: $T \approx 0{,}31\,\text{s}$ y $v_{\max} = 1{,}0\,\text{m/s}$ .

Tabla

Magnitud	Expresión	Fase respecto a $x$	Máximo cuando	Valor máximo
Desplazamiento $x$	$A\cos(\omega t + \varphi)$	—	Extremos de la oscilación	$A$
Velocidad $v$	$-A\omega\sin(\omega t + \varphi)$	$\pi/2$ adelantada	Paso por el equilibrio ( $x=0$ )	$v_{\max} = A\omega$
Aceleración $a$	$-A\omega^{2}\cos(\omega t + \varphi)$	$\pi$ (antiparalela)	Extremos de la oscilación	$a_{\max} = A\omega^{2}$

Diagrama

flowchart TD
    A[Resorte deformado] --> B[Fuerza restauradora F = -k x]
    B --> C[Aceleracion a = -k/m x = -omega^2 x]
    C --> D[Movimiento armonico simple x = A cos(omega t)]
    D --> E[Velocidad v = -A omega sen(omega t)]
    D --> F[Aceleracion a = -A omega^2 cos(omega t)]
    E -.desfase de pi/2 con x.-> D
    F -.antiparalela a x, desfase de pi.-> D

Fórmulas y ecuaciones

$a_x$ = $-\omega^{2}x$ (aceleración siempre antiparalela al desplazamiento)

x = $A\cos\theta,\$ $v_x$ = $-A\omega\sin\theta,\$ $a_x$ = $-A\omega^{2}\cos\theta$ (proyecciones del círculo auxiliar)

$\omega$ = $\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

x(t) = $A\cos(\omega$ t + $\varphi)$

v(t) = $\frac{dx}{dt}$ = $-A\omega\sin(\omega$ t + $\varphi)$

a(t) = $\frac{dv}{dt}$ = $-A\omega^{2}\cos(\omega$ t + $\varphi)$

$\sum$ $F_x$ = -kx = $ma_x$

$a_x$ = - $\frac{k}{m}$ $\,x$ = $-\omega^{2}x$

$\omega$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}$

T = $2\pi$ $\sqrt{\frac{m}{k}}$

f = $\frac{1}{T}$ = $\frac{1}{2\pi}$ $\sqrt{\frac{k}{m}}$

$v_{\max}$ = $A\omega$ , $\quad$ $a_{\max}$ = $A\omega^{2}$

$E_{@@MATH_0@@mv^{2}$ + $\frac{1}{2}@@MATH_1@@kA^{2}$

Glosario (8)

Movimiento armónico simple (MSH): Movimiento oscilatorio en el que la aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto, a = -ω²x.
Posición de equilibrio: Posición del sistema donde la fuerza neta sobre la masa es nula (muelle sin deformar).
Amplitud (A): Valor máximo del desplazamiento respecto a la posición de equilibrio.
Frecuencia angular (ω): Radianes recorridos por unidad de tiempo, ω = √(k/m); se mide en rad/s.
Fuerza restauradora: Fuerza que siempre apunta hacia la posición de equilibrio; en el muelle es F = -kx.
Círculo auxiliar (de referencia): Círculo imaginario cuya proyección sobre un diámetro reproduce el movimiento armónico simple.
Desfase (φ): Diferencia en ángulo entre dos magnitudes armónicas; entre x y v vale π/2 y entre x y a vale π.
Aceleración centrípeta: Aceleración dirigida hacia el centro del círculo, a_c = v²/r, que en el círculo auxiliar se proyecta como a = -ω²x.

Preguntas para practicar

En la segunda y la tercera fotografía, ¿por qué los vectores de desplazamiento (rojo) y de aceleración (negro) nunca apuntan en la misma dirección?

Porque la única fuerza que actúa sobre la masa es la fuerza elástica del muelle, $F = -kx$, y por la segunda ley de Newton $a = F/m = -(k/m)x$. Como la aceleración es siempre proporcional al desplazamiento pero de signo opuesto, el vector aceleración es antiparalelo al vector desplazamiento en todo instante: el muelle siempre tira de la masa hacia la posición de equilibrio. Esto es lo que garantiza el carácter armónico del movimiento y hace que la aceleración sea máxima en los extremos y nula al pasar por el equilibrio.

El círculo verde de las fotografías representa un movimiento circular uniforme. ¿Qué relación guarda este círculo con el oscilación vertical del muelle?

El MSH es la proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro. Si un punto describe el círculo de radio $A$ con velocidad angular constante $\omega$, entonces su proyección vertical es $x = A\cos\theta$; la proyección de la velocidad tangencial da $v_x = -A\omega\sin\theta$, y la de la aceleración centrípeta da $a_x = -A\omega^{2}\cos\theta$. Por eso el círculo permite visualizar gráficamente por qué la velocidad está desfasada $\pi/2$ con el desplazamiento y la aceleración, $\pi$ con él.

Si en la fotografía se disminuye la masa que cuelga del muelle, ¿cómo cambiarían la longitud de los vectores azul y negro?

Al disminuir $m$, la frecuencia angular $\omega = \sqrt{k/m}$ aumenta. Como $v_{\max} = A\omega$ y $a_{\max} = A\omega^{2}$, tanto el vector de velocidad como el de aceleración crecerían para la misma amplitud; la aceleración crecería más rápido, ya que es proporcional a $\omega^{2}$. El período $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ disminuiría, es decir, el sistema oscilaría más rápido.

Temas y conceptos clave

Movimiento armónico simple de un sistema resorte-masaVectores desplazamiento, velocidad y aceleración en el MSHCírculo auxiliar o círculo de referencia del MSHFase y desfase entre x, v y aPosición de equilibrioAmplitud (A)Frecuencia angular (ω)Fuerza restauradora F = -k xAceleración centrípeta en el círculo auxiliarDesfase de π/2 entre desplazamiento y velocidadDesfase de π entre desplazamiento y aceleración