a) En un laboratorio se está analizando este movimiento y un grupo de cámaras especializadas entrega las siguientes tomas: (1) resorte en reposo con la línea "0"; (2) primera fotografía con el sistema en movimiento, con leyenda ROJO-DESPLAZAMIENTO, AZUL-VELOCIDAD, NEGRO-ACELERACIÓN. Interpretar ambas tomas.

a=-^2x (aceleración opuesta al desplazamiento; masa en movimiento descendente y frenando)

Ampliación: con m=2 kg, k=200 N/m y x=20 cm, calcular la aceleración instantánea, la frecuencia angular, el período y la frecuencia.

a=20 m/s^2, =10 rad/s, T≈0,63 s, f≈1,59 Hz

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Movimiento armónico simple: resorte y masa, vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

En reposo: $x=0$ , $v=a=0$ (equilibrio). En la primera foto: $x\neq0$ (rojo), $v\neq0$ hacia abajo (azul) y $a$ opuesto a $x$ (negro), con $\vec a=-\omega^2\vec x$ . Con $x=0{,}20\,$ m, $k=200\,$ N/m y $m=2\,$ kg: $a=20\,$ m/s², $\omega=10\,$ rad/s, $T\approx0{,}63\,$ s, $f\approx1{,}59\,$ Hz.

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Solución — Página 94

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 94

a

Interpretar las dos tomas de cámaras especializadas del sistema masa–resorte: una del resorte en reposo y la "primera fotografía" del sistema en movimiento, donde se grafican los vectores de desplazamiento (rojo), velocidad (azul) y aceleración (negro).

Parte 94.a

1 — Resorte en reposo

En la primera toma el resorte está suspendido de un soporte y no hay masa colgada: el resorte conserva su longitud natural.
La línea punteada horizontal con el rótulo "0" marca el origen del eje vertical de posición: el sistema está en su posición de equilibrio, donde $x=0$ .
En reposo no hay movimiento: todos los vectores dinámicos son nulos, es decir $v=0$ y $a=0$ , y la fuerza neta sobre el resorte es nula.

Respuesta

El resorte en reposo define la posición de equilibrio $x=0$ , donde desplazamiento, velocidad y aceleración son nulos.

Parte 94.a

2 — Primera fotografía: sistema en movimiento

La masa aparece desplazada respecto de la línea "0" (origen): existe un desplazamiento vertical $\vec{x}$ , representado en rojo, medido desde la posición de equilibrio hasta la posición instantánea de la masa.
Los vectores azules (velocidad $\vec{v}$ ) apuntan hacia abajo: en el instante de la fotografía la masa está en movimiento hacia abajo, alejándose del origen.
El vector negro (aceleración $\vec{a}$ ) está dirigido hacia la posición de equilibrio, es decir, opuesto al desplazamiento. Esto es la marca característica del movimiento armónico simple.
Según la segunda ley de Newton, la fuerza elástica de recuperación es $\vec{F} = -k\vec{x}$ , de modo que

$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = -\frac{k}{m}\vec{x} = -\omega^{2}\vec{x}, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Al ser $\omega^{2}>0$ , la aceleración tiene siempre signo opuesto al desplazamiento: la masa siempre es "empujada" de vuelta al equilibrio.
La energía se transforma sin fricción: cuando la masa está en $x=0$ la energía cinética es máxima y el potencial elástico mínimo; en los extremos ( $x=\pm A$ ) ocurre lo contrario.

Respuesta

En la primera fotografía el desplazamiento (rojo) mide la distancia al origen, la velocidad (azul) indica que la masa desciende y la aceleración (negro), dirigida hacia el equilibrio, cumple $\vec{a}=-\omega^{2}\vec{x}$ : aceleración opuesta al desplazamiento, característica del movimiento armónico simple.

Parte 94.a

3 — Relación entre los tres vectores

La velocidad es la derivada de la posición: $v = \frac{dx}{dt}$ . En SHM, si $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$ , entonces

$v(t) = -A\omega\sin(\omega t+\phi), \qquad a(t) = -A\omega^{2}\cos(\omega t+\phi) = -\omega^{2}x(t)$

Cuando la masa pasa por el equilibrio ( $x=0$ ): $v$ es máximo y $a=0$ .
Cuando la masa llega a los extremos ( $x=\pm A$ ): $v=0$ y $|a|=\omega^{2}A$ es máximo.
En la fotografía: $x\neq 0$ , $v\neq 0$ (la masa se aleja) y $a\neq 0$ apuntando al origen; por tanto la masa está entre el equilibrio y el extremo, y su rapidez está disminuyendo.

Respuesta

$x\neq 0$ , $v\neq 0$ con $a$ opuesto a $x$ : la masa se aleja del equilibrio y frena, acercándose al punto de inversión.

Ejercicio 94

b (ampliación coherente con las figuras)

Si en la fotografía la masa está a $x=20\,\text{cm}=0{,}20\,\text{m}$ y la constante del resorte es $k=200\,\text{N/m}$ con $m=2\,\text{kg}$ :

Fuerza elástica: $F = kx = 200\,\text{N/m} \times 0{,}20\,\text{m} = 40\,\text{N}$ .
Aceleración: $a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{40\,\text{N}}{2\,\text{kg}} = 20\,\text{m/s}^{2}$ , dirigida hacia el equilibrio (opuesta a $x$ ).
Frecuencia angular: $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{200}{2}} = \sqrt{100} = 10\,\text{rad/s}$ .
Verificación: $a = \omega^{2}x = (10\,\text{rad/s})^{2}\times0{,}20\,\text{m} = 20\,\text{m/s}^{2}$ ✓
Periodo: $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{10} \approx 0{,}63\,\text{s}$ .
Frecuencia: $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{10}{2\pi} \approx 1{,}59\,\text{Hz}$ .

Respuesta

$a=20\,\text{m/s}^{2}$ hacia el equilibrio, $\omega=10\,\text{rad/s}$ , $T\approx0{,}63\,\text{s}$ , $f\approx1{,}59\,\text{Hz}$ .

Contenido de la página

a) En un laboratorio se está analizando este movimiento y un grupo de cámaras especializadas entrega las siguientes tomas:

Toma 1: RESORTE EN REPOSO

Imagen: un resorte colgado de un soporte superior sin masa; el resorte conserva su longitud natural.
Línea punteada horizontal con el rótulo "0", que señala la posición de equilibrio del sistema (origen del eje vertical).
Fuente: https://hn9.cl/qbaer

Toma 2: PRIMERA FOTOGRAFÍA

Imagen: el mismo resorte ahora con la masa colgada y desplazada respecto de la línea "0".
Se grafican tres vectores, según la leyenda de colores:
- ROJO = DESPLAZAMIENTO
- AZUL = VELOCIDAD
- NEGRO = ACELERACIÓN
Los vectores azules apuntan hacia abajo (la masa desciende) y el vector negro apunta hacia la posición de equilibrio, opuesto al desplazamiento.
Fuente: https://h9.cl/gp35a

Nota: la página corresponde a la continuación (literal a) ) de un ejercicio iniciado en la página anterior (93); la página 95 continúa con los literales siguientes.

Ejemplos resueltos

Una masa de $m=2\,\text{kg}$ cuelga de un resorte con $k=200\,\text{N/m}$ y está a $20\,\text{cm}$ del equilibrio, moviéndose hacia abajo. Hallar la aceleración, el período y la frecuencia.

$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{200}{2}} = \sqrt{100} = 10\,\text{rad/s}$ .
$a = \omega^{2}x = (10)^{2}(0{,}20) = 20\,\text{m/s}^{2}$ , dirigida hacia el equilibrio (opuesta al desplazamiento).
$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{10} \approx 0{,}63\,\text{s}$ .
$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{10}{2\pi} \approx 1{,}59\,\text{Hz}$ .

Respuesta: $a=20\,\text{m/s}^{2}$ (hacia el equilibrio), $T\approx0{,}63\,\text{s}$ , $f\approx1{,}59\,\text{Hz}$ .

Tabla

Vector	Color en la fotografía	Dirección observada	Significado físico
Desplazamiento $\vec{x}$	Rojo	Desde la línea "0" hasta la masa	Posición instantánea respecto al equilibrio
Velocidad $\vec{v}$	Azul	Hacia abajo	La masa desciende, se aleja del origen y frena
Aceleración $\vec{a}$	Negro	Hacia el equilibrio (opuesto a $\vec{x}$ )	Fuerza restauradora de Hooke, $\vec{a}=-\omega^{2}\vec{x}$

Magnitud	Expresión	En la fotografía
Fuerza elástica	$F=kx$	No nula, dirigida hacia el equilibrio
Aceleración	$a=\dfrac{k}{m}x$	No nula, opuesta al desplazamiento
Período	$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$	Se calcula con $k$ y $m$
Frecuencia angular	$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$	Constante, no depende de la amplitud

Diagramas (2)

flowchart TD
  A[Resorte en reposo\nlongitud natural] --> B[Posicion de equilibrio\nlinea 0: x = 0]
  B --> C[Primera fotografia\nmasa desplazada]
  C --> D[ROJO: desplazamiento x\nvec{x} desde el 0]
  C --> E[AZUL: velocidad vec{v}\nhacia abajo, masa desciende]
  C --> F[NEGRO: aceleracion vec{a}\nhacia el equilibrio]
  F --> G[vec{a} = -omega^2 vec{x}\nmovimiento armonico simple]
  D --> G
  E --> G

graph LR
  X[Desplazamiento x] -->|F = -k x| F[Fuerza elastica restauradora]
  F -->|F = m a| A[Aceleracion a]
  A -->|a = -omega^2 x| X

Fórmulas y ecuaciones

$\vec{a}$ = $-\omega^{2}$ $\vec{x}$ $\quad$ ( $\text{aceleración opuesta al desplazamiento}$ )

$\omega$ = $\sqrt{\dfrac{k}{m}}@@MATH_0@@\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

$E_{mecánica}$ = $\dfrac{1}{2}$ $kA^{2}$ = $\text{constante}$

$\vec{F}$ = -k $\vec{x}$

$\vec{a}$ = $\frac{\vec{F}}{m}$ = - $\frac{k}{m}@@MATH_0@@\vec{x}$

$\omega$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}$

x(t) = $A\cos(\omega$ t + $\phi)$

v(t) = $\frac{dx}{dt}$ = $-A\omega\sin(\omega$ t + $\phi)$

a(t) = $\frac{dv}{dt}$ = $-A\omega^{2}\cos(\omega$ t + $\phi)$ = $-\omega^{2}x(t)$

T = $\frac{2\pi}{\omega}$ = $2\pi$ $\sqrt{\frac{m}{k}}$

f = $\frac{1}{T}$ = $\frac{\omega}{2\pi}$

E = $\frac{1}{2}@@MATH_0@@mv^{2}$ = $\text{constante}$

Glosario (7)

Posición de equilibrio: Lugar donde la fuerza neta sobre el sistema es cero y el resorte mantiene su longitud natural; en la figura está marcado con la línea "0".
Desplazamiento (x): Distancia y sentido desde la posición de equilibrio hasta la posición instantánea de la masa; se representa con la flecha roja.
Velocidad (v): Rapidez y sentido con que la masa se mueve en un instante dado; flecha azul en la figura.
Aceleración (a): Cambio de la velocidad por unidad de tiempo; en el SHM su dirección siempre es opuesta al desplazamiento (flecha negra).
Constante del resorte (k): Grado de rigidez del resorte, medida en N/m, que aparece en la ley de Hooke F = −kx.
Frecuencia angular (ω): Razón ω = √(k/m), en rad/s, que caracteriza la rapidez de las oscilaciones.
Período (T): Tiempo en que el sistema completa un ciclo completo de oscilación, T = 2π/ω.

Preguntas para practicar

¿Por qué la línea punteada "0" es fundamental para analizar el movimiento del resorte?

Porque define la posición de equilibrio, que es el origen del eje de coordenadas vertical: sin ella no sería posible medir el desplazamiento x de la masa, magnitud que determina tanto la fuerza elástica (F = −kx) como la aceleración (a = −ω²x). Todo cálculo de velocidad, energía y período depende de esa referencia.

Interpreta los colores de la primera fotografía (rojo, azul, negro) y explica qué información aporta cada uno.

El rojo representa el desplazamiento: distancia y sentido desde la posición de equilibrio hasta la masa. El azul representa la velocidad: indica que en ese instante la masa se mueve hacia abajo (se aleja del origen). El negro representa la aceleración: está dirigida hacia el equilibrio, opuesta al desplazamiento, lo que muestra que la masa frena al alejarse y volverá al centro. Juntos, confirman un movimiento armónico simple.

¿Qué le ocurriría al sistema si la aceleración tuviera el mismo sentido que el desplazamiento?

La fuerza neta llevaría a la masa cada vez más lejos del equilibrio y el movimiento no sería oscilatorio: sería una aceleración permanente en el mismo sentido (un resorte que se estira o comprime sin recuperación). Que a y x sean opuestos (a = −ω²x) es precisamente la condición necesaria para el movimiento armónico simple.

Temas y conceptos clave

Movimiento armónico simple (masa–resorte)Vectores desplazamiento, velocidad y aceleraciónPosición de equilibrio y origen de coordenadasSegunda ley de Newton aplicada al resorteMagnitudes características: ω, T y fposición de equilibriodesplazamiento xvelocidad vaceleración aconstante del resorte kfrecuencia angular ωperíodo Tfrecuencia faceleración restauradora