c) Si al vehículo ingresan dos personas adicionales de 160 kg cada una, ¿la frecuencia sería la mitad comparada con la obtenida solo con las dos personas iniciales? Argumentar.

f_2 f_1/2; f_2 ≈ (0,707 a 1) f_1

El amortiguador de una camioneta presenta ecuación y = 10 sen(5t + /2) cm y masa 40 kg. Determinar magnitudes del oscilador.

A=10 cm; T≈1,26 s; f≈0,80 Hz; v_max=0,5 m/s; a_max=2,5 m/s^2; F_max=100 N; k=1000 N/m

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Oscilaciones armónicas: masas en un vehículo y amortiguador con ecuación senoidal

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Respuesta rápida

3.c) No: $f\propto 1/\sqrt{m}$ ; duplicar masa reduce $f$ a factor $1/\sqrt{2}\approx0{,}707$ , no a la mitad. 4) $A=10$ cm, $T\approx1{,}26$ s, $f\approx0{,}80$ Hz, $v_{max}=0{,}5$ m/s, $a_{max}=2{,}5$ m/s², $F_{max}=100$ N, $k=1000$ N/m.

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Solución — Página 102

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 3

c

Enunciado: si al vehículo ingresan dos personas adicionales de $160\,\text{kg}$ cada una (además de las dos personas iniciales), ¿la frecuencia sería la mitad de la obtenida solo con las dos personas iniciales? Argumentar.

Un vehículo apoyado sobre sus resortes se modela como un oscilador armónico, cuya frecuencia natural es $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_{total}}},$ con $k$ la constante elástica equivalente de los resortes y $m_{total}$ la masa total (carrocería + pasajeros).
Con las dos personas iniciales la masa es $m_1 = m_{vehículo} + 2(160\,\text{kg})$ . Al entrar dos personas más, la masa pasa a $m_2 = m_{vehículo} + 4(160\,\text{kg}) = m_{vehículo} + 640\,\text{kg}$ .
Comparo las frecuencias: $\frac{f_2}{f_1} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m_2}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m_1}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}.$
Para que $f_2 = \dfrac{f_1}{2}$ se necesitaría $ $\sqrt{m_1/m_2}$ = $\dfrac{1}{2}@@MATH_2@@m_2$ = $4m_1@@MATH_3@@f_2@@MATH_4@@f_1$ $, pero en mucho menos que un factor 2.

Respuesta

No. Como $f \propto 1/\sqrt{m}$ , duplicar la masa de los pasajeros solo reduce la frecuencia a un factor $1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ (y, sumando solo 320 kg a un vehículo que ya pesa mucho más, la caída es todavía menor). Para que la frecuencia se redujera a la mitad habría que CUADRUPRICAR la masa total, no sumar dos personas más.

Ejercicio 4

Contexto: el propietario de una camioneta a los $50\,000\,\text{km}$ escucha un ruido en la parte posterior derecha; el técnico prueba el amortiguador y el scanner reporta $y = 10\,\sin\!\left(5t + \frac{\pi}{2}\right)\,\text{cm}, \qquad m = 40\,\text{kg}.$ La página pide realizar las actividades que continúan (figuran en la página siguiente); aquí se resuelven todas las magnitudes que la ecuación y la masa permiten obtener.

Comparo con la forma canónica $y = A\,\sin(\omega t + \varphi)$ : identifico $A = 10\,\text{cm} = 0{,}10\,\text{m}, \qquad \omega = 5\,\text{rad/s}, \qquad \varphi = \frac{\pi}{2}\,\text{rad}.$
Como $\varphi = \pi/2$ , puedo reescribir la ecuación: $y = 10\,\sin\!\left(5t + \frac{\pi}{2}\right) = 10\,\cos(5t)\,\text{cm}.$ Al inicio ( $t=0$ ): $y_0 = 10\cos(0) = 10\,\text{cm}$ , es decir, el amortiguador parte en su máxima elongación.
Período: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5\,\text{rad/s}} = 1{,}2566\,\text{s} \approx 1{,}26\,\text{s}.$
Frecuencia: $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{5}{2\pi} = 0{,}7958\,\text{Hz} \approx 0{,}80\,\text{Hz}.$ (Equivale a unos 47,7 oscilaciones por minuto.)
Velocidad: $v = \dfrac{dy}{dt} = -10(5)\,\cos(5t) = -50\,\cos(5t)\,\text{cm/s}$ , de modo que $v_{max} = A\omega = (10\,\text{cm})(5\,\text{rad/s}) = 50\,\text{cm/s} = 0{,}50\,\text{m/s}.$
Aceleración: $a = \dfrac{dv}{dt} = 250\,\sin(5t)\,\text{cm/s}^2$ , con $a_{max} = A\omega^2 = (10\,\text{cm})(25\,\text{s}^{-2}) = 250\,\text{cm/s}^2 = 2{,}50\,\text{m/s}^2.$
Fuerza máxima sobre la masa (segunda ley de Newton): $F_{max} = m\,a_{max} = (40\,\text{kg})(2{,}50\,\text{m/s}^2) = 100\,\text{N}.$
Constante elástica equivalente del sistema masa-resorte, usando $\omega = \sqrt{k/m}$ : $k = m\,\omega^2 = (40\,\text{kg})(5\,\text{rad/s})^2 = 1000\,\text{N/m} = 10\,\text{N/cm}.$
Verificación de coherencia: con $k = 1000\,\text{N/m}$ y $m=40\,\text{kg}$ , $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1000}{40}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{25} = \frac{5}{2\pi}\,\text{Hz} = 0{,}80\,\text{Hz},$ coincidiendo con el paso 4, lo que confirma que la oscilación descrita es armónica simple.

Respuesta

Amplitud $A = 10\,\text{cm}$ ; período $T \approx 1{,}26\,\text{s}$ ; frecuencia $f \approx 0{,}80\,\text{Hz}$ ; velocidad máxima $0{,}50\,\text{m/s}$ ; aceleración máxima $2{,}50\,\text{m/s}^2$ ; fuerza máxima $100\,\text{N}$ ; constante elástica $k = 1000\,\text{N/m} = 10\,\text{N/cm}$ .

Contenido de la página

Ejercicio 3.c

Si al vehículo ingresan dos personas adicionales de $160\,\text{kg}$ cada una, ¿sería la frecuencia la mitad respecto de la obtenida solo con las dos personas iniciales? Argumentar la respuesta.

La frecuencia natural de un vehículo sobre resortes es $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ . Al duplicar la masa de pasajeros (no la masa total, que incluye la carrocería), la frecuencia disminuye, pero como $f\propto 1/\sqrt{m}$ , la reducción es de factor $1/\sqrt{2}\approx0{,}707$ , no de un factor 2. Para reducir la frecuencia a la mitad habría que cuadruplicar la masa total.

Ejercicio 4

El propietario de una camioneta, a los $50\,000\,\text{km}$ , escucha un ruido en la parte posterior derecha y regresa al taller. El técnico prueba el amortiguador para solicitar la garantía y el scanner reporta:

$y = 10\,\text{sen}\left(5t + \frac{\pi}{2}\right)\,\text{cm}$
Masa del amortiguador: $40\,\text{kg}$

A partir de estos datos se pueden calcular amplitud, período, frecuencia, velocidades, aceleración, fuerza máxima y constante elástica del sistema.

¿Sabías qué? Los amortiguadores son mecanismos que se encuentran en los ejes de los automóviles, anclados al chasis y carrocería del vehículo, cuya función principal es suavizar el movimiento en desniveles.

Ejemplos resueltos

Un vehículo con masa total $m_1$ y constante $k$ tiene frecuencia $f_1$ . Al agregar 2 personas de 160 kg (masa total $m_2 < 2m_1$ ), ¿cuál es el nuevo $f_2$ respecto de $f_1$ ?

$\frac{f_2}{f_1} = \frac{\sqrt{k/m_2}}{\sqrt{k/m_1}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}.$ Como $m_2 < 2m_1$ , entonces $\sqrt{m_1/m_2} > 1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ : la frecuencia baja, pero nunca a la mitad.

Dados $y = 10\sin(5t + \pi/2)$ cm y $m = 40$ kg, hallar $k$ .

De la comparación con $y = A\sin(\omega t + \varphi)$ : $\omega = 5\,\text{rad/s}$ . $k = m\omega^2 = (40\,\text{kg})(5\,\text{rad/s})^2 = 1000\,\text{N/m}.$

Tablas (2)

Magnitud	Fórmula	Sustitución	Resultado
Amplitud $A$	$A$	$A = 10$	$10\,\text{cm}$
Frecuencia angular $\omega$	$\omega$	$\omega = 5$	$5\,\text{rad/s}$
Período $T$	$\frac{2\pi}{\omega}$	$\frac{2\pi}{5}$	$1{,}26\,\text{s}$
Frecuencia $f$	$\frac{\omega}{2\pi}$	$\frac{5}{2\pi}$	$0{,}80\,\text{Hz}$
Velocidad máxima	$A\omega$	$(10)(5)$	$0{,}50\,\text{m/s}$
Aceleración máxima	$A\omega^2$	$(10)(25)$	$2{,}50\,\text{m/s}^2$
Fuerza máxima	$m a_{max}$	$(40)(2{,}5)$	$100\,\text{N}$
Constante elástica $k$	$m\omega^2$	$(40)(25)$	$1000\,\text{N/m}$

Caso	Masa total	Relación de frecuencias
Dos personas iniciales	$m_1 = m_{veh} + 320\,\text{kg}$	$f_1$ (referencia)
Dos personas más	$m_2 = m_{veh} + 640\,\text{kg}$	$f_2 = f_1\sqrt{m_1/m_2} > 0{,}707\,f_1$
Condicional teórico	$4m_1$	$f_2 = f_1/2$

Diagrama

graph LR
  A[Ec. del scanner] --> B{Comparar con y = A sen(ωt + φ)}
  B --> C[A = 10 cm]
  B --> D[ω = 5 rad/s]
  B --> E[φ = π/2]
  D --> F[T = 2π/ω ≈ 1,26 s]
  D --> G[f = ω/2π ≈ 0,80 Hz]
  C & D --> H[a_max = Aω² = 2,5 m/s²]
  D & I[m = 40 kg] --> J[k = mω² = 1000 N/m]
  H & I --> K[F_max = 100 N]

Fórmulas y ecuaciones

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

$a_{max} = A\omega^2$

$k = m\omega^2$

y = $10\$ , $\text{sen}@@MATH_0@@\right)\$ , $\text{cm}$

y = $A\$ , $\text{sen}$ $(\omega$ t + $\varphi)$

T = $\frac{2\pi}{\omega}$

f = $\frac{\omega}{2\pi}$ = $\frac{1}{2\pi}$ $\sqrt{\frac{k}{m}}$

$v_{max}$ = $A\omega$

$a_{max}$ = $A\omega^2$

$F_{max}$ = $m\,a_{max}$

k = $m\omega^2$

Glosario (6)

Movimiento armónico simple: Movimiento oscilatorio en el que la fuerza restauradora es proporcional y opuesta al desplazamiento (ley de Hooke), con trayectoria descrita por funciones seno o coseno.
Amplitud: Máxima distancia del equilibrio que alcanza el oscilador, en este caso A = 10 cm.
Frecuencia angular (ω): Razón a la que varía la fase de la oscilación, medida en radianes por segundo; aquí ω = 5 rad/s.
Período: Tiempo que tarda el oscilador en completar una oscilación completa; T = 2π/ω.
Constante elástica (k): Coeficiente de la fuerza restauradora F = −kx; indica la rigidez del resorte o del sistema masa-resorte.
Amortiguador: Dispositivo hidráulico de los vehículos que disipa energía para reducir oscilaciones y suavizar la marcha.

Preguntas para practicar

¿Argumenta si duplicar la masa de los pasajeros reduce la frecuencia de oscilación a la mitad?

No. Como $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$, la frecuencia es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa: duplicar la masa reduce $f$ en un factor $1/\sqrt{2}\approx0{,}707$, y al sumar solo 320 kg a un vehículo que ya pesa bastante, el descenso es aún menor. Para lograr $f/2$ habría que cuadruplicar la masa total.

¿Qué significa que el desfase sea $\pi/2$ en la ecuación del amortiguador?

Indica que la oscilación está desplazada un cuarto de ciclo: la ecuación $y = 10\sin(5t+\pi/2)$ equivale a $y = 10\cos(5t)$, es decir, al inicio ($t=0$) el amortiguador ya se encuentra en su máxima elongación ($y=10$ cm) y parte desde el punto más alejado del equilibrio.

¿Por qué es importante que los amortiguadores estén anclados al chasis?

Porque así la fuerza restauradora y el amortiguamiento actúan sobre la masa total del vehículo: al estar anclados al chasis y carrocería, disipan la energía de los desniveles y controlan la oscilación de la masa suspendida, evitando que las ruedas pierdan contacto con el pavimento.

Temas y conceptos clave

Relación entre masa y frecuencia de oscilaciónAnálisis de una ecuación senoidal de desplazamientoMagnitudes del movimiento armónico simpleAmortiguadores de vehículosOscilador armónicoFrecuencia natural f = (1/2π)√(k/m)Frecuencia angular ωAmplitud AConstantante elástica k = mω²Desfase inicial φ

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Por qué duplicar la masa no reduce la frecuencia de oscilación a la mitad?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se extraen amplitud, período y frecuencia de una ecuación de la forma y = A sen(ωt + φ)?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es la constante elástica de un amortiguador y cómo se calcula desde la frecuencia natural?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Forma canónica del MSH: y = A sen(ωt + φ)
• Relación entre frecuencia angular, frecuencia y período
• Segunda ley de Newton (F = ma)
• Derivada de sen y coseno

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Energía en el movimiento armónico simple y amortiguamiento forzado/resonancia

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1203 caracteres

c) Si al vehículo ingresan dos personas adicionales que cuentan con la misma masa (160 kg) a las que ya se encontraban dentro, entonces, ¿la frecuencia sería la mitad comparada a la que obteníamos solo con las dos personas iniciales? Argumento mi respuesta.

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

El propietario de una camioneta realizó el mantenimiento a los 50 000 km, sin embargo, al retirar su vehículo escucha un ruido extraño en la parte posterior derecha, por lo que decide regresar al taller y hacer el respectivo reclamo. Uno de los técnicos realiza pruebas a fin de solicitar garantía del repuesto, pues, al parecer, tiene un defecto de fábrica, no obstante, el encargado de las garantías solicita algunos datos para poder comprobar el estado del amortiguador.

La ecuación mostrada por el scanner antes de fallar es la siguiente:

y = 10sen (se + Jem

e La masa del amortiguador es de 40 kilogramos.

¿Sabías qué?

Los amortiguadores son mecanismos que se encuentran en los ejes de los automóviles anclados al chasis y carrocería del vehículo, cuya función principal es la de suavizar el movimiento de los vehículos en desniveles.

Texto de Física \ 491

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