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Aceleración versus tiempo y resumen de las gráficas del movimiento armónico

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Respuesta rápida

a(t) = -ω²x(t), con ω=√(k/m). En C₁ y C₃ |a| es máximo y v=0; en C₂ y C₄ a=0 y v es máxima. Velocidad adelanta al desplazamiento π/2; aceleración adelanta π.

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Solución — Página 98

Fisica 2° · 2024

Contenido de la página

La página (pág. 97 del Texto de Física, año 2024) es una sección de teoría y gráficas interactivas. No contiene ejercicios numéricos; se analiza aquí el significado físico de las gráficas.

Ejemplo A — Aceleración versus tiempo (gráfica con puntos $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ , $C_4$ )

La simulación muestra una masa $m$ suspendida de un resorte de constante $k$ que oscila armónicamente. La ecuación de movimiento es:

$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),\qquad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Derivando respecto al tiempo se obtienen la velocidad y la aceleración:

$v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$

$a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi)=-\omega^{2}x(t)$

Lectura de los puntos de la gráfica de $a$ vs. $t$ :

$C_1$ : la aceleración alcanza su valor máximo en magnitud y signo negativo. Ocurre en el punto extremo de la trayectoria (el resorte está más estirado o más comprimido), donde $|v|=0$ y $|a|=A\omega^{2}$ .
$C_2$ : $a=0$ . Por $a=-\omega^{2}x$ esto implica $x=0$ : la masa pasa por la posición de equilibrio y la velocidad es máxima, $|v|_{\text{máx}}=A\omega$ .
$C_3$ : la aceleración es máxima en magnitud y signo positivo; de nuevo la masa está en un extremo, con $|v|=0$ .
$C_4$ : segunda vez que $a=0$ : la masa regresa al equilibrio con velocidad máxima nuevamente.

Relación directa entre las gráficas:

$\boxed{a(t)=-\omega^{2}x(t)},\qquad \boxed{v(t)=\omega A\sin(\omega t)}$

Es decir, la curva de aceleración es la de desplazamiento invertida y amplificada por un factor $\omega^{2}$ , y la aceleración conduce al desplazamiento (y a la velocidad) en fase opuesta.

Ejemplo B — Resumen: tres curvas superpuestas (rojo, azul, negro)

Con la misma $x(t)=A\cos(\omega t)$ :

Rojo (desplazamiento): $x(t)=A\cos(\omega t)$ .
Azul (velocidad): $v(t)=-A\omega\sin(\omega t)=A\omega\cos\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)$ : adelanta $\pi/2$ rad (¼ de ciclo) respecto al desplazamiento.
Negro (aceleración): $a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t)=A\omega^{2}\cos(\omega t+\pi)$ : adelanta $\pi$ rad (½ de ciclo), o sea va en contra del desplazamiento.

Cuadro de comparación:

Magnitud	Ecuación	Amplitud	Fase respecto a $x$
Desplazamiento	$x=A\cos(\omega t)$	$A$	$0$
Velocidad	$v=-A\omega\sin(\omega t)$	$A\omega$	$+\pi/2$
Aceleración	$a=-A\omega^{2}\cos(\omega t)$	$A\omega^{2}$	$+\pi$

Verificación: la derivada de la roja da la azul ( $v=\dot{x}$ ), la derivada de la azul da la negra ( $a=\dot{v}$ ), y la derivada de la negra es $-\omega^{2}v$ , consistente con el ciclo cerrado de la oscilación.

Ejemplo numérico resuelto

Sea $m=0{,}20\,\text{kg}$ , $k=5{,}0\,\text{N/m}$ y $A=0{,}06\,\text{m}$ . Entonces:

$\omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{5{,}0/0{,}20}=\sqrt{25}=5{,}0\,\text{rad/s}$ .
$v_{\text{máx}}=A\omega=(0{,}06)(5{,}0)=0{,}30\,\text{m/s}$ .
$a_{\text{máx}}=A\omega^{2}=(0{,}06)(25)=1{,}5\,\text{m/s}^{2}$ .
Periodo $T=2\pi/\omega=2\pi/5{,}0\approx1{,}26\,\text{s}$ ; frecuencia $f=1/T\approx0{,}796\,\text{Hz}$ .

Respuesta: las tres magnitudes comparten frecuencia $f\approx0{,}80\,\text{Hz}$ y difieren solo en amplitud y en fase ( $\pi/2$ entre cada una de ellas consecutivas).

Contenido de la página

ACELERACIÓN VERSUS TIEMPO

Simulación (PhET, Fuente: https://n9.cl/3ik2zy): masa unida a un resorte vertical. Leyenda: NEGRO = ACELERACIÓN. Se señalan cuatro puntos de la curva $a(t)$ :

$C_1$ : aceleración máxima en magnitud y negativa (la masa está en un extremo de su trayectoria).
$C_2$ : $a=0$ (la masa cruza la posición de equilibrio; la velocidad es máxima).
$C_3$ : aceleración máxima en magnitud y positiva (extremo opuesto).
$C_4$ : $a=0$ nuevamente (velocidad máxima).

Ecuaciones del sistema:

$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$

$v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$

$a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi)=-\omega^{2}x(t)$

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{\omega}{2\pi}$

RESUMEN

Simulación (Fuente: https://n9.cl/0i4et) con cronómetro y leyenda de colores:

ROJO – DESPLAZAMIENTO: $x(t)=A\cos(\omega t)$ .
AZUL – VELOCIDAD: $v(t)=-A\omega\sin(\omega t)$ , adelanta $\pi/2$ respecto a $x$ .
NEGRO – ACELERACIÓN: $a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t)$ , adelanta $\pi$ respecto a $x$ y va en contra de la fuerza de restauración (Ley de Hooke).

Las tres curvas tienen el mismo período y frecuencia; solo cambian la amplitud y la fase.

Texto de Física, pág. 97.

Ejemplos resueltos

Una masa de $m=0{,}20\,\text{kg}$ oscila en un resorte de $k=5{,}0\,\text{N/m}$ con amplitud $A=0{,}06\,\text{m}$ . Calcula $\omega$ , $v_{\text{máx}}$ , $a_{\text{máx}}$ y $T$ .

$\omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{5{,}0/0{,}20}=5{,}0\,\text{rad/s}$ . 2. $v_{\text{máx}}=A\omega=(0{,}06)(5{,}0)=0{,}30\,\text{m/s}$ . 3. $a_{\text{máx}}=A\omega^{2}=(0{,}06)(25)=1{,}5\,\text{m/s}^{2}$ . 4. $T=2\pi/\omega\approx1{,}26\,\text{s}$ , $f\approx0{,}796\,\text{Hz}$ .

Tabla

Magnitud	Color en la simulación	Ecuación	Amplitud	Fase respecto a $x$
Desplazamiento	Rojo	$x=A\cos(\omega t)$	$A$	$0$
Velocidad	Azul	$v=-A\omega\sin(\omega t)$	$A\omega$	$+\pi/2$
Aceleración	Negro	$a=-A\omega^{2}\cos(\omega t)$	$A\omega^{2}$	$+\pi$

Diagrama

graph LR
  subgraph Masa-Resorte
    R[Resorte k]
    M[Masa m]
  end
  R --> M
  M --> X[Desplazamiento x(t)=A cos(ωt+φ)]
  X -->|derivada| V[Velocidad v(t)=-Aω sin(ωt+φ)]
  V -->|derivada| A[Aceleración a(t)=-ω²x(t)]
  A -.retroalimenta .-> M

Fórmulas y ecuaciones

a(t) = $-\omega^{2}$ x(t)

$\omega$ = $\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

$v_{$ $\text{máx}$ } = $A\omega$

x(t) = $A\cos(\omega$ t + $\varphi)$

v(t) = $-A\omega\sin(\omega$ t + $\varphi)$

a(t) = $-A\omega^{2}\cos(\omega$ t + $\varphi)$ = $-\omega^{2}x(t)$

$\omega$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}$

T = $\frac{2\pi}{\omega}$ = $2\pi$ $\sqrt{\frac{m}{k}}$

$v_{$ $\text{máx}$ } = $A\omega$

$a_{$ $\text{máx}$ } = $A\omega^{2}$

Glosario (6)

Movimiento armónico simple: Oscilación periódica en la que la aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto: a = -ω²x.
Frecuencia angular ω: Radianes por segundo completados por el oscilador; se calcula como ω = √(k/m).
Amplitud A: Valor máximo que alcanza el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio.
Fase: Argumento (ωt + φ) del seno o coseno que describe la magnitud; define el instante del ciclo.
Desfase: Diferencia de fase entre dos curvas: π/2 entre desplazamiento y velocidad, π entre desplazamiento y aceleración.
Ley de Hooke: Fuerza elástica proporcional al desplazamiento: F = -kx, lo que produce la aceleración a = -(k/m)x.

Preguntas para practicar

¿Qué ocurre con la velocidad de la masa en los puntos $C_2$ y $C_4$ de la gráfica de aceleración versus tiempo?

En $C_2$ y $C_4$ la aceleración vale cero, lo que implica que el desplazamiento es nulo: la masa pasa por la posición de equilibrio y alcanza su velocidad máxima, $v_{\text{máx}}=A\omega$. En los extremos ($C_1$ y $C_3$) la aceleración es máxima y la velocidad se anula, cambiando el sentido del movimiento.

¿Por qué la curva de aceleración (negra) parece la curva de desplazamiento (roja) invertida?

Porque $a=-\omega^{2}x$: la aceleración es proporcional al desplazamiento pero de signo opuesto (Ley de Hooke, $F=-kx$). Al ser $\omega^{2}$ positivo, la curva negra es la roja multiplicada por $-\omega^{2}$, lo que equivale a girarla $\pi$ rad en fase y escalar su amplitud por $\omega^{2}$.

¿Cómo se relacionan las amplitudes de las tres curvas del resumen?

Las amplitudes están en razón $1:\omega:\omega^{2}$, es decir $A$, $A\omega$ y $A\omega^{2}$. Si $\omega>1$ rad/s la aceleración tiene la mayor amplitud y si $\omega<1$ rad/s la más pequeña; todas comparten período $T=2\pi/\omega$.

Temas y conceptos clave

Aceleración versus tiempo en el M.E.S.H.Gráficas superpuestas de desplazamiento, velocidad y aceleraciónRelación a = -ω²xFases en el movimiento armónico simpleMovimiento armónico simple (M.E.S.H.)Frecuencia angular ω = √(k/m)Amplitud AFase y desfase (π/2, π)Aceleración como derivada segunda del desplazamientoSimulación PhET masa-resorte