Ejercicio de la página 103 (continuación de un problema sobre un amortiguador)
Nota de contexto: esta página continúa un ejercicio de la página anterior, cuya imagen (masa del sistema, amplitud, energía mecánica inicial, gráficas de x(t) y a(t)) no aparece aquí. Las respuestas se plantean con los datos sí visibles (k = 1000\ \text{N/m} y E_{\text{perdida}} = 20\ \text{J}) y con las fórmulas generales del movimiento armónico simple (MAS), de modo que basta sustituir los valores que figuran en la página previa.
La posición de la máxima aceleración del amortiguador
- En un amortiguador modelado como un oscilador armónico simple, la fuerza restauradora es F = -kx.
- Por la segunda ley de Newton, a = \dfrac{F}{m} = -\dfrac{k}{m}\,x.
- La magnitud de la aceleración es máxima cuando |x| es máximo, es decir, cuando el cuerpo se encuentra en las extremidades de la oscilación.
- En MAS la aceleración máxima es a_{\text{máx}} = \omega^{2} A, donde A es la amplitud y \omega la frecuencia angular.
La aceleración es máxima en las posiciones de máxima deformación, x = +A y x = -A (puntos extremos del recorrido), donde el amortiguador está completamente comprimido o estirado. Ahí la velocidad vale cero y la fuerza restauradora (y por tanto la aceleración) alcanza su valor máximo.
Determinación de la constante teórica del movimiento e indicación de su corrección
- Para un MAS la frecuencia angular teórica es \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.
- El periodo teórico resulta T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} y la frecuencia f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
- Con la rigidez indicada, k = 1000\ \text{N/m}, la "constante del movimiento" que caracteriza el oscilador es \omega = \sqrt{\frac{1000\ \text{N/m}}{m}} = \frac{31{,}6\ \text{s}^{-1}}{\sqrt{m\,[\text{kg}]}} T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{1000\ \text{N/m}}}
- Sustitución ilustrativa (si el enunciado previo da m = 2\ \text{kg}): \omega = \sqrt{\frac{1000}{2}} = \sqrt{500} \approx 22{,}4\ \text{rad/s} T = 2\pi\sqrt{\frac{2}{1000}} = 2\pi(0{,}0447) \approx 0{,}281\ \text{s} f = \frac{1}{T} \approx 3{,}56\ \text{Hz}
- ¿Es correcta? El valor teórico solo es válido si el movimiento es armónico simple puro (sin rozamiento ni fuentes externas). Un amortiguador real es un oscilador amortiguado: la rigidez de 1000\ \text{N/m} es un valor típico del fabricante, pero la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo (x(t) = A e^{-\gamma t}\cos(\omega' t)) y el periodo real T' = \dfrac{2\pi}{\omega'} es ligeramente mayor que el teórico.
La constante teórica se obtiene con \omega = \sqrt{k/m} (o T = 2\pi\sqrt{m/k}). Es una aproximación teórica: el amortiguador amortecido no obedece un MAS ideal, de modo que el valor real de k (medido experimentalmente) difiere del teórico de 1000\ \text{N/m} por efecto de la disipación de energía.
Porcentaje de pérdida en el amortiguador con una eficiencia energética de 20 J
- Defino la energía de entrada (energía mecánica total suministrada o almacenada) como E_{\text{total}} y la energía disipada como E_{\text{perdida}} = 20\ \text{J}.
- La eficiencia energética es \eta = \dfrac{E_{\text{útil}}}{E_{\text{total}}}\times 100\%.
- Como E_{\text{total}} = E_{\text{útil}} + E_{\text{perdida}}, el porcentaje de pérdida es \%\ \text{perdida} = \frac{E_{\text{perdida}}}{E_{\text{total}}}\times 100\% = \frac{20\ \text{J}}{E_{\text{total}}}\times 100\%
- Sustitución ilustrativa (si la energía mecánica total del enunciado previo es E_{\text{total}} = 50\ \text{J}): \%\ \text{perdida} = \frac{20}{50}\times 100\% = 40\% y entonces la eficiencia sería \eta = 100\% - 40\% = 60\%.
- Comprobación: E_{\text{útil}} = E_{\text{total}} - E_{\text{perdida}} = 50 - 20 = 30\ \text{J}, y efectivamente 30/50 = 0{,}60 = 60\%.
El porcentaje de pérdida es \%P = \dfrac{20\ \text{J}}{E_{\text{total}}}\times 100\%. Con E_{\text{total}} = 50\ \text{J} se obtiene un 40\% de pérdida (eficiencia 60\%). Toda esa energía se transforma en calor y sonido, lo que explica el amortecimiento del movimiento.
