Enunciado: A partir de la información del taller, calcular de manera teórica: (a) la ecuación de la velocidad y la aceleración para un tiempo t; (b) las gráficas de posición y velocidad versus tiempo; (c) la velocidad máxima del amortiguador.
Nota de contexto: las tres incisas referidas están en planillas en blanco. Los datos numéricos (m, k, b, x_0, v_0) se informan en la página anterior (pág. 102) del mismo taller; al no estar en esta imagen, se deja la resolución en forma general y simbólica, que es exactamente lo que permite "ayudar al técnico": al sustituir allí los valores, se obtiene cada número.
El sistema es un oscilador armónico amortiguado (un amortiguador de un escáner/masa de inercia): masa m, constante del muelle k y coeficiente de amortiguamiento viscoso b.
- Ecuación de movimiento (Newton, F = ma con F = -kx - b\dot{x}):
m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0
Magnitudes características: frecuencia angular natural \omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} (rad/s) y razón de amortiguamiento \zeta = \dfrac{b}{2\sqrt{km}} = \dfrac{b}{2m\omega_0} (adimensional).
Se estudia el caso subamortiguado \zeta < 1 (el amortiguador oscila y decae), el habitual en un amortiguador hidráulico. La frecuencia amortiguada es
\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}
- Posición con amplitud inicial X y fase \varphi (ambas se fijan con x(0) y v(0)):
x(t) = X\,e^{-\zeta\omega_0 t}\,\cos(\omega_d t + \varphi)
— Velocidad y aceleración para un tiempo $t$
Velocidad (derivada de x):
v(t)=\frac{dx}{dt}=-X\,e^{-\zeta\omega_0 t}\left[\zeta\omega_0\cos(\omega_d t+\varphi)+\omega_d\sin(\omega_d t+\varphi)\right]
Como \sqrt{(\zeta\omega_0)^2+\omega_d^2}=\omega_0 y \sin\delta = \zeta, se compacta en
\boxed{v(t) = -X\,\omega_0\,e^{-\zeta\omega_0 t}\,\sin(\omega_d t + \varphi + \delta)},\qquad \delta=\arcsin\zeta
Aceleración (derivada de v):
a(t)=\frac{dv}{dt}=X\omega_0e^{-\zeta\omega_0 t}\left[\zeta\omega_0\sin(\omega_d t+\varphi+\delta)-\omega_d\cos(\omega_d t+\varphi+\delta)\right]
combinando con \cos\varepsilon = \zeta (es decir \varepsilon = \pi/2-\delta):
\boxed{a(t) = -X\,\omega_0^{2}\,e^{-\zeta\omega_0 t}\,\cos(\omega_d t + \varphi + 2\delta)}
Comprobación (sin amortiguamiento, \zeta=0, \delta=0): v=-X\omega_0\sin(\omega_0t+\varphi) y a=-X\omega_0^2\cos(\omega_0t+\varphi), que es el resultado clásico de la oscilación armónica. Además a = \frac{d v}{dt} y v = \frac{d x}{dt}; la amplitud de a es \omega_0^2 veces la de x y su envolvente decae como e^{-\zeta\omega_0 t}, igual que v.
— Gráficas de posición y velocidad versus tiempo
- x(t) vs t: coseno amortiguado centrado en x=0, envolventes \pm Xe^{-\zeta\omega_0 t}, amplitud que decrece un factor e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} en cada semiperiodo T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}.
- v(t) vs t: seno amortiguado de amplitud X\omega_0, envolventes \pm X\omega_0e^{-\zeta\omega_0 t}, con respecto a x(t) adelanta el desfase \delta = \arcsin\zeta (la velocidad no se anula en las posiciones extremas, porque la fuerza del muelle no se anula).
- v>0 cuando x crece y v<0 cuando x disminuye; los máximos de |v| ocurren ligeramente antes de que x cruce el origen.
Valores para el trazo (el estudiante reemplaza X, \omega_0 y \zeta con los datos del taller):
| t | x(t) | v(t) |
|---|---|---|
| 0 | X\cos\varphi | -X\omega_0\sin(\varphi+\delta) |
| \dfrac{1}{4}T_d | Xe^{-\zeta\omega_0 T_d/4}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\varphi\right) | -X\omega_0e^{-\zeta\omega_0 T_d/4}\sin\!\left(\pi+\varphi+\delta\right) |
| \dfrac{1}{2}T_d | -Xe^{-\zeta\omega_0 T_d/2}\cos\varphi | -X\omega_0e^{-\zeta\omega_0 T_d/2}\sin\!\left(\pi+\varphi+\delta\right) |
| T_d | Xe^{-\zeta\omega_0 T_d}\cos(2\pi+\varphi) | -X\omega_0e^{-\zeta\omega_0 T_d}\sin(2\pi+\varphi+\delta) |
— Velocidad máxima del amortiguador
v es máximo cuando a(t)=0: \cos(\omega_d t_n + \varphi + 2\delta)=0, es decir
t_n = \frac{\dfrac{\pi}{2}-\varphi-2\delta+n\pi}{\omega_d},\qquad n=0,1,2,\dots
En esos instantes \sin(\omega_d t_n+\varphi+\delta)=\pm\cos\delta=\pm\sqrt{1-\zeta^2}, de modo que
\boxed{v_{\text{max},n}=X\,\omega_d\,e^{-\zeta\omega_0 t_n}}
El primer máximo ( n=0 ) es el mayor. Sin amortiguamiento ( \zeta=0 ) se recupera el caso clásico:
v_{\text{max}}=X\omega_0=X\sqrt{\frac{k}{m}}
v(t)=-X\omega_0e^{-\zeta\omega_0t}\sin(\omega_dt+\varphi+\delta) y a(t)=-X\omega_0^2e^{-\zeta\omega_0t}\cos(\omega_dt+\varphi+2\delta); x(t) y v(t) son senoidales amortiguadas con envolventes \pm Xe^{-\zeta\omega_0t} y \pm X\omega_0e^{-\zeta\omega_0t}; y v_{\text{max}}=X\omega_de^{-\zeta\omega_0t_0}, que para \zeta\to0 vale X\sqrt{k/m}.
