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Péndulo de reloj: determinación del período del movimiento oscilatorio

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Respuesta rápida

T ≈ 1,68 s (≈ 1,69 s con corrección finita por amplitud); f ≈ 0,60 Hz. La masa de 500 g no influye en el período.

📚 exercise fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 3 min lectura

Solución — Página 105

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 5

a

Un reloj de péndulo está desigualado. El péndulo tiene longitud $L = 70\,\text{cm}$ y una lenteja (terminal de masa) de $m = 500\,\text{g}$ ; se debe determinar el período del movimiento para una apertura (amplitud angular) de $\theta_0 = 16^\circ$ .

Ejercicio 1

Identificar los datos y convertirlos a SI:

Longitud del péndulo: $L = 70\,\text{cm} = 0.70\,\text{m}$ .
Masa de la lenteja: $m = 500\,\text{g} = 0.50\,\text{kg}$ .
Apertura: $\theta_0 = 16^\circ$ .
Aceleración de la gravedad en Ecuador (zona intertropical): $g \approx 9.78\,\text{m/s}^{2}$ (se puede tomar $g = 9.8\,\text{m/s}^{2}$ ).

Elegir el modelo físico: el período de un péndulo simple bajo la aproximación de oscilaciones de amplitud pequeña es

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

Observación importante: el período no depende de la masa $m$ , por lo que el dato de $500\,\text{g}$ es irrelevante para calcular $T$ (sí lo sería para la energía o la fuerza de tensión).

Comprobar si la amplitud es pequeña: convertir a radianes,

$\theta_0 = 16^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.2793\,\text{rad}$

Como $\theta_0 < 0.5\,\text{rad}$ (menor que unos $30^\circ$ ), la aproximación de amplitud pequeña es válida.

Ejercicio 4

Sustituir en la fórmula (con $g = 9.78\,\text{m/s}^{2}$):

$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.70\,\text{m}}{9.78\,\text{m/s}^{2}}} = 2\pi\sqrt{0.07157\,\text{s}^{2}}$

$\sqrt{0.07157} \approx 0.2675\,\text{s}$

$T \approx 2\pi(0.2675\,\text{s}) \approx 1.68\,\text{s}$

Con $g = 9.8\,\text{m/s}^{2}$ se obtiene $T \approx 1.68\,\text{s}$ también ( $T \approx 1.679\,\text{s}$ ).

Corrección finita por amplitud (control de calidad del informe técnico): para amplitudes finitas,

$T \approx T_0\left(1 + \frac{\theta_0^{2}}{16} + \cdots\right)$

$\frac{\theta_0^{2}}{16} = \frac{(0.2793)^{2}}{16} = \frac{0.0780}{16} \approx 0.0049$

$T \approx 1.68\,\text{s} \times 1.0049 \approx 1.69\,\text{s}$

El efecto es inferior al 0.5 %, por lo que el valor $T \approx 1.68\,\text{s}$ es suficiente para el informe.

Ejercicio 6

Frecuencia (dato complementario para el fabricante):

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1.68\,\text{s}} \approx 0.60\,\text{Hz}$

es decir, el péndulo completa aproximadamente un semicírculo cada $T/2 \approx 0.84\,\text{s}$ , de modo que el mecanismo debería contar una oscilación completa cada $1.68\,\text{s}$ .

Respuesta

$T \approx 1.68\,\text{s}$ (con corrección finita de amplitud, $T \approx 1.69\,\text{s}$ ); la masa de la lenteja no influye en el período.

Contenido de la página

5. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación

Los relojes de péndulo tienen la característica de moverse debido al movimiento periódico y oscilatorio de la péndola; si esta deja de moverse de esta manera, los relojes tienden a atrasarse o adelantarse.

Un reloj se encuentra totalmente desigualado y para poder repararlo es necesario enviar algunos datos al fabricante con la finalidad de que pueda estimar el posible daño y remitir los repuestos necesarios.

A continuación, el informe técnico:

(Se muestra un diagrama de un péndulo desplazado desde su posición vertical y una imagen de un reloj de péndulo de pared; debajo, una cuadrícula para el desarrollo.)

a) Informe técnico

Si el péndulo tiene 70 centímetros de longitud y la lenteja o terminal de masa es de 500 gramos, determino el período del movimiento para una abertura actual del reloj de 16 grados.

Resolución:

Datos: $L = 70\,\text{cm} = 0.70\,\text{m}$ ; $m = 500\,\text{g} = 0.5\,\text{kg}$ ; $\theta_0 = 16^\circ = 0.279\,\text{rad}$ ; $g \approx 9.78\,\text{m/s}^{2}$ .
Fórmula del período de un péndulo simple (amplitud pequeña):

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

Sustitución:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.70}{9.78}} = 2\pi\sqrt{0.0716} \approx 2\pi(0.2676) \approx 1.68\,\text{s}$

La masa no aparece en la fórmula: el período es independiente de la masa de la lenteja.
Con corrección finita: $T \approx T_0\left(1 + \frac{\theta_0^{2}}{16}\right) \approx 1.68(1.0049) \approx 1.69\,\text{s}$ .
Frecuencia: $f = 1/T \approx 0.60\,\text{Hz}$ .

Ejemplos resueltos

Un péndulo de reloj mide 60 cm de longitud. ¿Cuál es su período?

$T = 2\pi\sqrt{0.60/9.8} = 2\pi\sqrt{0.0612} = 2\pi(0.2474) \approx 1.55\,\text{s}$ , independientemente de la masa.

Tabla

Magnitud	Valor	Unidad SI	Comentario
Longitud del péndulo $L$	70	m	$0.70\,\text{m}$
Masa de la lenteja $m$	500	g	$0.5\,\text{kg}$ ; irrelevante para $T$
Apertura $\theta_0$	16	°	$0.279\,\text{rad}$ (amplitud pequeña)
Gravedad $g$ (Ecuador)	9.78	m/s²	$g = 9.8\,\text{m/s}^{2}$ si se aproxima
Período $T$	≈ 1.68	s	1.69 s con corrección finita
Frecuencia $f$	≈ 0.60	Hz	$f = 1/T$

Diagrama

flowchart TD
    A[Datos: L = 70 cm = 0,70 m; m = 500 g; θ₀ = 16°] --> B{¿Amplitud pequeña? θ₀ = 0,279 rad < 0,5 rad}
    B -->|Sí| C[Usar T = 2π√(L/g)]
    B -->|No| D[Corregir: T = T₀(1 + θ₀²/16 + ...)]
    C --> E[Calcular T = 2π√(0,70/9,78)]
    E --> F[T ≈ 1,68 s]
    D --> G[T ≈ 1,69 s]
    F --> H[f = 1/T ≈ 0,60 Hz]
    G --> H
    I[Masa m = 500 g] -.no interviene en T.-> C

Fórmulas y ecuaciones

T = $2\pi$ $\sqrt{\frac{L}{g}}$

f = $\frac{1}{T}$

T $\approx$ $T_0\left(1$ + $\frac{\theta_0^{2}}{16}$ $\right)$

T = $2\pi$ $\sqrt{\frac{L}{g}}$

T $\approx$ $T_0\left(1$ + $\frac{\theta_0^{2}}{16}$ $\right)$

f = $\frac{1}{T}$

$\theta_0$ = $16^\circ$ = 16 $\times$ $\frac{\pi}{180}$ $\approx$ $0.279\$ , $\text{rad}$

Glosario (7)

Péndulo simple: Sistema formado por una masa puntual suspendida de un punto fijo mediante un hilo inextensible y sin masa, que oscila bajo la acción de la gravedad.
Período (T): Tiempo que tarda el sistema en completar un ciclo completo de oscilación, medido en segundos.
Frecuencia (f): Número de ciclos completos por unidad de tiempo, f = 1/T, medida en hertz (Hz).
Apertura o amplitud angular (θ₀): Ángulo máximo que el péndulo describe respecto de la vertical en cada oscilación.
Oscilaciones de amplitud pequeña: Movimientos en los que el ángulo es tan pequeño (θ₀ < 0.5 rad) que sen θ ≈ θ, lo que permite usar fórmulas simples.
Desigualarse: Pérdida de la sincronía del reloj, que comienza a atrasarse o adelantarse porque el período del péndulo no coincide con el diseño del mecanismo.
Lenteja: Terminal de masa del péndulo, generalmente un disco metálico que puede desplazarse a lo largo de la varilla para ajustar el período.

Preguntas para practicar

¿Por qué el período del péndulo no depende de la masa de la lenteja?

Porque tanto la fuerza de restauración (componente del peso) como la masa que aparece en la segunda ley de Newton son proporcionales a m, de modo que esta se cancela en la expresión de la frecuencia angular ω = √(g/L). Por eso, aumentar la masa no cambia el tiempo de oscilación; lo que sí lo modifica es la longitud.

¿Qué debería enviar el dueño del reloj al fabricante para que este estime el daño?

Debe indicar la longitud efectiva del péndulo (70 cm), la masa de la lenteja (500 g) y la apertura de funcionamiento (16°), además del período observado en el reloj. Con estos datos el fabricante calcula T = 2π√(L/g) ≈ 1,68 s y lo compara con el período de diseño; si hay diferencia, sabe qué repuesto (lenteja, hilo o mecanismo) debe enviar.

¿Qué le ocurre al reloj si la péndola se mueve con amplitud mayor a la prevista?

Al aumentar la amplitud, el período se incrementa ligeramente (T ≈ T₀(1 + θ₀²/16)), por lo que el reloj empezaría a atrasarse. Además, fuera del régimen de pequeña amplitud la oscilación deja de ser armónica y el movimiento puede volverse inestable o irregular.

Temas y conceptos clave

Péndulo simplePeríodo del movimiento oscilatorioAplicación a relojes de pénduloAproximación de pequeña amplitudpéndulo simpleperíodo (T)frecuencia (f)longitud del péndulo (L)apertura o amplitud angular (θ₀)masa de la lentejaaceleración de la gravedad (g)oscilaciones de amplitud pequeña

Fuentes y referencias

https://bit.ly/3c6l0dB9s (fuente de la imagen del péndulo, indicada en la página)

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Figuras de la página (2)

Diagrama de un péndulo: punto de suspensión azul, hilo, lenteja negra desplazada desde la vertical, arco con marcas angulares y doble flecha que indica el movimiento oscilatorio; al lado, un reloj de péndulo de pared con carátula de números romanos. — Figura 1 image

Cuadrícula amplia para que el estudiante desarrolle el cálculo a mano. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el período de un péndulo simple y de qué magnitud depende?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué la masa de la lenteja no afecta el período de un péndulo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significa que un péndulo tenga una apertura de 16 grados y cómo se aplica la aproximación de amplitud pequeña?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Unidades del Sistema Internacional y conversión cm→m, g→kg
• Raíz cuadrada y operaciones con potencias
• El concepto de período y frecuencia en movimientos periódicos
• Valor aproximado de la aceleración de la gravedad g

Siguiente tema sugerido

Energía potencial y cinética en el péndulo simple, y efectos de la amplitud sobre el período

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 758 caracteres

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

A continuación, el informe técnico:

Fuente: https://n9.cl/el0d9s

a) Si el péndulo tiene 70 centímetros de longitud y la lenteja o terminal de masa es de 500 gramos, determino el período del movimiento para una abertura actual del reloj de 16 grados.

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