Enunciado: El período si la cuerda o brazo disminuye a la mitad.

1. El período de un péndulo simple (o de una lenteja giratoria a la que se le aplica la aproximación armónica) depende de la longitud como: T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
2. Si la cuerda o el brazo se reduce a la mitad, la nueva longitud es L' = \dfrac{L}{2}.
3. Sustituyo en la fórmula: T' = 2\pi \sqrt{\frac{L'}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L/2}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{2g}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
4. Por lo tanto: T' = \frac{T}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 \, T
5. Ejemplo numérico: si antes T = 2{,}0 \, \text{s}, entonces T' = \dfrac{2{,}0}{1{,}414} \approx 1{,}41 \, \text{s}.

Enunciado: El período si la cuerda o brazo aumenta al doble.

1. Fórmula del período: T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
2. Ahora la longitud se duplica: L'' = 2L.
3. Sustituyo: T'' = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{g}} = \sqrt{2} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
4. Por lo tanto: T'' = T\sqrt{2} \approx 1{,}414 \, T
5. Ejemplo numérico: si antes T = 2{,}0 \, \text{s}, entonces T'' = 2{,}0 \times 1{,}414 \approx 2{,}83 \, \text{s}.

Enunciado: ¿Cuál es la velocidad de la lenteja en una apertura de 5 grados?

1. El «ángulo de apertura» es la máxima desviación respecto a la vertical: \theta_{\max} = 5^{\circ}.
2. Convierto a radianes: \theta_{\max} = 5^{\circ} \times \dfrac{\pi}{180^{\circ}} = 0{,}0873 \, \text{rad}.
3. La velocidad máxima (en el punto inferior, con la cuerda horizontal la energía cinética es máxima) se obtiene por conservación de la energía: la altura recorrida es h = L(1-\cos\theta_{\max}), de modo que v_{\max} = \sqrt{2gL(1-\cos\theta_{\max})}
4. Con \theta_{\max} = 5^{\circ}: \cos 5^{\circ} \approx 0{,}9962, entonces 1-\cos 5^{\circ} = 1 - 0{,}9962 = 0{,}0038 v_{\max} = \sqrt{2gL \times 0{,}0038} = \sqrt{0{,}0076 \, gL} \approx 0{,}087 \, \sqrt{gL}
5. Equivalente: para ángulos pequeños, v_{\max} \approx \theta_{\max}\sqrt{gL} con \theta en radianes: v_{\max} \approx 0{,}0873\sqrt{gL}.
6. Ejemplo numérico: con L = 1{,}0 \, \text{m} y g = 9{,}8 \, \text{m/s}^{2}, v_{\max} = 0{,}0873 \times \sqrt{9{,}8 \times 1{,}0} = 0{,}0873 \times 3{,}13 \approx 0{,}27 \, \text{m/s}