¿Cuál es la velocidad máxima de la lenteja?

La velocidad máxima se alcanza en la posición de equilibrio (el punto más bajo del arco), donde toda la energía potencial se ha convertido en energía cinética.

1. En la posición de máxima amplitud (ángulo \theta_{max}) la lenteja está en reposo: v=0.
2. Al descender hasta la vertical, la altura perdida es h = L\left(1-\cos\theta_{max}\right), donde L es la longitud del brazo o cuerda del péndulo.
3. Por conservación de la energía: \frac{1}{2} m v_{max}^{2} = m g L\left(1-\cos\theta_{max}\right)
4. Cancelando la masa m y despejando: v_{max}=\sqrt{2gL\left(1-\cos\theta_{max}\right)}
5. Para amplitudes pequeñas se usa 1-\cos\theta_{max}\approx \dfrac{\theta_{max}^{2}}{2} (con \theta_{max} en radianes), de modo que: v_{max}\approx \theta_{max}\sqrt{gL}
6. Equivalente en función del período T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}, ya que \omega=\sqrt{\dfrac{g}{L}}=\dfrac{2\pi}{T}: v_{max}=\omega L\theta_{max}=\frac{2\pi L\theta_{max}}{T}

La energía cinética en su abertura total (amplitud máxima).

1. En la amplitud total (\theta=\theta_{max}) la velocidad vale v=0: toda la energía está potencial.
2. Por lo tanto, la energía cinética instantánea en ese instante es: E_{c,max\;amplitud}=\frac{1}{2}mv^{2}=0
3. La energía cinética es máxima en la posición de equilibrio, donde es igual a la energía mecánica total del péndulo: E_{c}^{max}=E_{m}=m g L\left(1-\cos\theta_{max}\right)\approx \frac{1}{2}m\omega^{2}L^{2}\theta_{max}^{2}
4. En cualquier instante, con \theta=\theta_{max}\cos(\omega t) y v=-\theta_{max}\,\omega L\sin(\omega t): E_{c}(t)=\frac{1}{2}mv^{2}(t)=E_{m}\sin^{2}(\omega t)
5. Como \sin^{2}(\omega t)=\dfrac{1-\cos(2\omega t)}{2}, la energía cinética oscila con el doble de la frecuencia del péndulo y nunca es negativa.

Si el reloj se encuentra atrasado, ¿qué se debería hacer con el brazo o cuerda del péndulo?

1. El período del péndulo simple es: T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
2. "Atrasado" significa que cada ciclo tarda más de lo debido: T_{real}>T_{ideal}=2\pi\sqrt{L_{ideal}/g}.
3. Como T\propto\sqrt{L}, para reducir el período hay que reducir L: acortar el brazo o la cuerda del péndulo subiendo la lenteja (en los relojes de péndulo suele hacerse con la tuerca reguladora).
4. Cuantitativamente: si el reloj marca t_{marca} y el tiempo verdadero es t_{verd} con t_{marca}>t_{verd}, se aplica L_{nueva}=L\left(\frac{t_{verd}}{t_{marca}}\right)^{2}
5. Si por el contrario el reloj adelanta, habría que alargar el brazo.