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Resortes en paralelo: determinar la constante elástica faltante

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Respuesta rápida

Resorte faltante: K₂ = 100 N/m (de la lista del técnico). Desplazamiento: x = 0,17 m = 17 cm. Fuerzas de recuperación: F₁ = 34 N (resorte superior, K₁ = 200 N/m) y F₂ = 17 N (resorte inferior); verificación: 34 N + 17 N = 51 N.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 89

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 1

Enunciado (literal a): Dos resortes están en configuración paralela; el resorte superior tiene una constante $K_1 = 200 \, \text{N/m}$ y la fuerza aplicada al conjunto es $F = 51 \, \text{N}$ . Determinar la constante del resorte faltante entre las disponibles ( $200, 140, 100, 80, 50, 410 \, \text{N/m}$ ), el desplazamiento del sistema y la fuerza de recuperación de cada resorte.

Ejercicio 1

Análisis de la configuración paralela

En un sistema de resortes en paralelo:

Los dos resortes se deforman la misma cantidad: $x_1 = x_2 = x$ .
Cada resorte genera su propia fuerza de recuperación y estas se suman: $F = F_1 + F_2$ .

Ejercicio 2

Ley de Hooke para cada resorte

$F_1 = K_1 \cdot x, \qquad F_2 = K_2 \cdot x$

Ejercicio 3

Ecuación del sistema

$F = K_1 x + K_2 x = (K_1 + K_2)\,x$

El parámetro $K_{eq} = K_1 + K_2$ es la constante equivalente del sistema paralelo. Despejando el desplazamiento:

$x = \frac{F}{K_1 + K_2}$

Ejercicio 4

Lectura del desplazamiento en la simulación

Tomando en cuenta los parámetros en condiciones normales (resortes relajados inicialmente, sin masa extra en el bloque), el desplazamiento indicado en la simulación es:

$x = 0{,}17 \, \text{m} = 17 \, \text{cm}$

Ejercicio 5

Determinación de la constante equivalente

$K_{eq} = \frac{F}{x} = \frac{51 \, \text{N}}{0{,}17 \, \text{m}} = 300 \, \text{N/m}$

Ejercicio 6

Constante del resorte faltante

$K_{eq} = K_1 + K_2 \Rightarrow K_2 = K_{eq} - K_1$

$K_2 = 300 \, \text{N/m} - 200 \, \text{N/m} = 100 \, \text{N/m}$

El valor $100 \, \text{N/m}$ sí aparece en la lista de resortes disponibles del técnico, por lo que es el resorte que se debe colocar en el sistema.

Ejercicio 7

Fuerzas de recuperación de cada resorte

$F_1 = K_1 \cdot x = 200 \, \text{N/m} \times 0{,}17 \, \text{m} = 34 \, \text{N}$

$F_2 = K_2 \cdot x = 100 \, \text{N/m} \times 0{,}17 \, \text{m} = 17 \, \text{N}$

Verificación:

$F_1 + F_2 = 34 \, \text{N} + 17 \, \text{N} = 51 \, \text{N} \quad \checkmark$

Ejercicio 8

Valores para graficar (F vs x)

$x$ (m)	$F_1 = 200x$ (N)	$F_2 = 100x$ (N)	$F = 300x$ (N)
0,05	10	5	15
0,10	20	10	30
0,17	34	17	51
0,20	40	20	60

En la gráfica se dibujan tres rectas que pasan por el origen: la del resorte superior ( $K_1 = 200 \, \text{N/m}$ , la más inclinada), la del resorte inferior ( $K_2 = 100 \, \text{N/m}$ ) y la del sistema ( $K_{eq} = 300 \, \text{N/m}$ ), que es la suma de las anteriores. La pendiente de cada recta es la constante elástica correspondiente.

Nota de verificación general

Si el desplazamiento leído fuera otro valor, la constante se obtiene con la expresión general:

$K_2 = \frac{F}{x} - K_1$

Por ejemplo, si $x = 0{,}15 \, \text{m}$ , entonces $K_2 = 340 - 200 = 140 \, \text{N/m}$ , y si $x = 0{,}1275 \, \text{m}$ , $K_2 = 200 \, \text{N/m}$ . Con la lectura de la simulación $x = 0{,}17 \, \text{m}$ , el resorte faltante es de $100 \, \text{N/m}$ .

Complemento: cómo se usa la simulación

En "Resorte superior" se fija $200 \, \text{N/m}$ (posición marcada en el control deslizante).
En "Resorte inferior" se coloca el valor hallado: $100 \, \text{N/m}$ .
En "Fuerza aplicada" se establece $51 \, \text{N}$ (el control se encuentra en la zona positiva de la escala $-100$ a $100 \, \text{N}$ ).
Se lee el desplazamiento del bloque ( $17 \, \text{cm}$ ) y se calculan las fuerzas de cada resorte con $F = K \cdot x$ .

Respuesta

$K_2 = 100 \, \text{N/m}$ , $x = 0{,}17 \, \text{m}$ , $F_1 = 34 \, \text{N}$ , $F_2 = 17 \, \text{N}$ .

Contenido de la página

Texto de Física — Página 89

RESORTES DISPONIBLES DEL TÉCNICO

200 N/m	140 N/m
50 N/m	100 N/m
410 N/m	80 N/m

Actividad (literal a)

a) Determino el resorte faltante mediante cálculos y coloco en la gráfica la constante del resorte a utilizar, el desplazamiento que realizará y las fuerzas de recuperación para cada resorte en el sistema que tiene como configuración paralela, como se muestra la figura. Tomo en cuenta los parámetros en condiciones normales para el cálculo. Uno de los resortes que posee el técnico tiene una constante $K = 200 \, \text{N/m}$ .

Datos de la simulación (imagen)

Dos resortes en paralelo (resorte superior y resorte inferior) unidos a un bloque y a un soporte fijo.
Control "Resorte superior": $200 \, \text{N/m}$ (fijado).
Control "Resorte inferior": valor por determinar (marcado en amarillo).
Control "Fuerza aplicada 1": $51 \, \text{N}$ (escala de $-100$ a $100 \, \text{N}$ ).
Flechas de colores (verde, amarilla y morada) que indican desplazamientos y sentido de la fuerza aplicada.
Calculadora y grilla en blanco para construir la gráfica fuerza-desplazamiento.

Fuente de la simulación: https://n9.cl/Vvozgu

Ideas clave para resolver

En configuración paralela, los resortes comparten el mismo desplazamiento y sus fuerzas se suman:

$F = F_1 + F_2 = K_1 x + K_2 x = (K_1 + K_2)\,x$

Ejemplos resueltos

Un resorte con K = 200 N/m se deforma 0,17 m. Calcular la fuerza de recuperación que ejerce.

Aplicamos la ley de Hooke: $F = K \cdot x$ .
Sustituimos: $F = 200 \, \text{N/m} \times 0{,}17 \, \text{m}$ .
Resultado: $F = 34 \, \text{N}$ .

Tablas (3)

Resortes disponibles del técnico

Posición	Valor
Superior izquierda	200 N/m (usado en el resorte superior)
Superior derecha	140 N/m
Centro izquierda	50 N/m
Centro derecha	100 N/m (resorte faltante hallado)
Inferior izquierda	410 N/m
Inferior derecha	80 N/m

Valores para la gráfica

Desplazamiento x (m)	Fuerza del resorte superior F1 = 200x (N)	Fuerza del resorte inferior F2 = 100x (N)	Fuerza total F = 300x (N)
0,00	0	0	0
0,05	10	5	15
0,10	20	10	30
0,17	34	17	51
0,20	40	20	60

Comparación de opciones posibles del resorte inferior

Desplazamiento leído x (m)	$K_eq$ = F/x (N/m)	K2 = $K_eq$ - K1 (N/m)	¿Está en la lista del técnico?
0,1275	400	200	Sí (pero es el mismo del resorte superior)
0,15	340	140	Sí
0,17	300	100	Sí
0,204	250	50	Sí

Diagrama

mindmap
  root((Resortes en paralelo))
    Ley de Hooke
      F = K·x
      K en N/m
    Configuración paralela
      Mismo desplazamiento x
      Fuerzas que se suman
      K_eq = K1 + K2
    Procedimiento
      Leer F y x en la simulación
      K_eq = F / x
      K2 = K_eq - K1
      Verificar con la lista del técnico
    Gráfica F vs x
      Pendiente = constante elástica
      Recta que pasa por el origen

Fórmulas y ecuaciones

F = K $\cdot$ x (ley de Hooke)

$K_eq$ = $K_1$ + $K_2$ (resortes en paralelo)

F = K $\cdot$ x

$F_1$ = $K_1$ $\cdot$ x

$F_2$ = $K_2$ $\cdot$ x

F = $(K_1$ + $K_2)\,x$

$K_{eq}$ = $K_1$ + $K_2$

$K_2$ = $\frac{F}{x}$ - $K_1$

x = $\frac{F}{K_1 + K_2}$

Glosario (6)

Ley de Hooke: La fuerza de recuperación de un resorte es directamente proporcional a su deformación: F = K·x, donde K es la constante elástica y x el desplazamiento respecto de la posición de equilibrio.
Constante elástica (K): Constante que mide la rigidez de un resorte; se expresa en newtons por metro (N/m). A mayor K, mayor fuerza se necesita para deformar el mismo desplazamiento.
Resortes en paralelo: Configuración en la que dos o más resortes se deforman la misma cantidad (mismo desplazamiento) y sus fuerzas de recuperación se suman.
Constante equivalente: Valor de K que reemplazaría al conjunto de resortes con la misma respuesta; en paralelo K_eq = K1 + K2 + ... + Kn.
Fuerza de recuperación: Fuerza que ejerce un resorte deformado en sentido contrario a su deformación, dirigida hacia la posición de equilibrio.
Desplazamiento (x): Variación de la longitud de un resorte respecto de su longitud natural o de su posición de equilibrio; se mide en metros (m).

Preguntas para practicar

¿Por qué en la configuración paralela los dos resortes se deforman la misma cantidad?

Porque están unidos al mismo bloque y al mismo soporte: cuando se aplica la fuerza, los extremos de ambos resortes se desplazan juntos, por lo que la longitud de cada uno varía en la misma medida (misma x). La consecuencia es que cada resorte aporta su propia fuerza de recuperación, K1·x y K2·x, y ambas se suman.

¿Qué representa la pendiente de cada recta de la gráfica fuerza-desplazamiento?

La pendiente corresponde a la constante elástica K del resorte o del sistema, porque la relación es lineal F = K·x. A mayor pendiente, mayor rigidez: en este caso la recta del resorte superior (200 N/m) es la más inclinada, la del inferior (100 N/m) es la menos inclinada y la del sistema completo (300 N/m) es la suma de ambas.

¿Qué sucedería con el desplazamiento si se utilizara el resorte de 410 N/m en lugar del de 100 N/m?

La constante equivalente sería 200 + 410 = 610 N/m y el desplazamiento sería x = 51 N / 610 N/m ≈ 0,084 m (8,4 cm), es decir, mucho menor. Esto demuestra que resortes más rígidos deforman menos ante la misma fuerza.

Temas y conceptos clave

Resortes en configuración paralelaConstante equivalente de un sistema de resortesLey de Hooke aplicada a resortesLectura de datos en simulación y representación gráficaLey de HookeConstante elástica (K)Resortes en paraleloConstante equivalente K_eq = K1 + K2Fuerza de recuperaciónDesplazamiento (x)Pendiente de la gráfica fuerza-desplazamiento