Leer el problema: el movimiento armónico simple posee una aceleración variable y nace del análisis de la reflexión del movimiento circular junto con el movimiento de un resorte; es un movimiento repetitivo, periódico y oscilatorio durante un intervalo de tiempo.
Identificación de los dos modelos físicos que se combinan en la explicación del mas:
- Movimiento circular uniforme: una partícula recorre una circunferencia de radio R con rapidez angular constante \omega. Su ángulo es \theta(t) = \omega t.
- Sistema masa-resorte: una masa m unida a un resorte de constante k sufre la fuerza restauradora F = -k x.
Proyección del movimiento circular sobre un diámetro (la "reflexión" u observación de la sombra):
- La coordenada del punto proyectada sobre el eje horizontal es x(t) = R \cos(\omega t).
- Dado que \omega = \dfrac{2\pi}{T}, la posición se escribe como x(t) = R \cos\!\left(\dfrac{2\pi}{T} t\right), es decir, una función periódica con período T.
- Como el mismo valor de x se repite cada periodo, el movimiento es repetitivo y periódico.
Velocidad de la proyección:
- Derivando la posición respecto del tiempo, v(t) = \dfrac{dx}{dt} = -R\omega \sin(\omega t).
- La rapidez no es constante: es máxima en el equilibrio (x=0) y nula en los extremos (x = \pm R), por eso el movimiento es oscilatorio.
Aceleración de la proyección (por qué es "variable"):
- a(t) = \dfrac{dv}{dt} = -R\omega^{2} \cos(\omega t).
- Como x = R\cos(\omega t), se obtiene la ecuación característica del mas: a(t) = -\omega^{2} x(t)
- La aceleración es variable porque depende de la posición y siempre apunta hacia el equilibrio (signo negativo): es una aceleración centrípeta a_c = R\omega^{2} cuya proyección reproduce exactamente -\omega^{2} x.
Conexión con el resorte:
- Para la masa-resorte, la ley de Newton da F = ma = -kx, de donde a = -\dfrac{k}{m} x.
- Comparando con a = -\omega^{2} x se identifica la frecuencia angular natural: \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
- El periodo del sistema masa-resorte es T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}.
Lectura de las imágenes de la página:
- Imagen izquierda: una partícula (punto verde) describe el movimiento circular (flechas amarillas de sentido de giro) mientras las flechas verdes representan la "iluminación" o proyección sobre un plano; la curva superior indica el giro completo y la flecha azul inferior, el sentido de rotación.
- Imagen derecha: la sombra o proyección sobre la pantalla vertical (línea discontinua = eje de equilibrio) se desplaza hacia arriba y hacia abajo (flecha roja doble), mostrando la oscilación en línea recta de amplitud igual al radio R.
El mas es el movimiento resultante de la proyección sobre un diámetro del movimiento circular uniforme y, de forma equivalente, el de un sistema masa-resorte; se caracteriza por x(t)=A\cos(\omega t), con v(t)=-A\omega\sin(\omega t), a(t)=-\omega^{2}x(t), aceleración variable dirigida al equilibrio y periodo T=2\pi/\omega.
