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Tema 7: Movimiento armónico simple — criterios, objetivos y saberes previos

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Respuesta rápida

MAS descrito por $x(t)=A\cos(\omega t+\delta)$ entre $+A$ y $-A$ . El «ir y venir» es un movimiento oscilatorio con periodo $T$ y fuerza restauradora. El péndulo simple es MAS si $\theta$ es pequeño, con $T=2\pi\sqrt{L/g}$ .

fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 3 min lectura

Solución — Página 92

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 1

Contenido de la página

Esta página de introducción del Tema 7: Movimiento armónico simple (MAS) establece el marco del tema mediante una gráfica de posición versus tiempo y tres bloques: criterios de evaluación, objetivos y saberes previos.

La ecuación del MAS

En la gráfica se representan dos casos:

$x(t) = A\cos(\omega t)$ , oscilación que parte de la posición de equilibrio en $x = A$ cuando $t = 0$ .
$x(t) = A\cos(\omega t + \delta)$ , con $\delta$ el fase o desfase inicial, que desplaza la curva en el tiempo.

Donde:

$A$ = amplitud (máximo desplazamiento desde el equilibrio, en $x=+A$ y $x=-A$ ),
$\omega$ = frecuencia angular, con $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ ,
$T$ = período (tiempo que tarda el sistema en repetir su estado),
$f = \dfrac{1}{T}$ = frecuencia, y $T = \dfrac{1}{f}$ .

La curva es una cosenoide (o senoide) entre $+A$ y $-A$ , simétrica respecto al eje de tiempos, lo que refleja un movimiento periódico y oscilatorio.

Criterio de evaluación (CE.CN.F.5.8)

Se debe argumentar, experimentalmente, las magnitudes que intervienen en el MAS cuando un resorte se comprime o estira (sin fricción), a partir de:

Las fuerzas involucradas en el MCU: la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia (aparece solo en el sistema de referencia rotatorio).
La conservación de la energía mecánica del resorte, horizontal o verticalmente, identificando las energías que intervienen en cada caso: energía cinética $K$ , energía potencial elástica $U_e=\frac{1}{2}kx^{2}$ y energía potencial gravitatoria $U_g=mgy$ .

Para un resorte horizontal sin fricción: $E = K + U_e = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2}kA^{2} = \text{constante}$ .

En el resorte vertical se agrega $U_g = mgy$ ; la energía mecánica total sigue constante al no actuar la fricción.

Objetivo (OG.CN.10)

Apreciar la importancia de la formación científica, los valores y actitudes propios del pensamiento científico, y adoptar una actitud crítica y fundamentada ante los problemas que plantean las relaciones entre ciencia y sociedad.

Resolución de las preguntas de «Saberes previos»

Ejercicio 1

¿Alguna vez has experimentado un movimiento que podría describirse como «hacia adelante y hacia atrás»?

Sí: es un movimiento oscilatorio (armónico). Ejemplos cotidianos son el péndulo de un reloj, un columpio, la cuerda de una guitarra al pulsarla o el pistón de un motor. Todos comparten tres rasgos: parten de una posición de equilibrio, la fuerza que los desplaza es restauradora (dirigida siempre hacia el equilibrio) y el movimiento se repite en intervalos iguales llamados periodo $T$ . En el MAS ese «ir y venir» queda descrito por $x(t) = A\cos(\omega t + \delta)$ , cuya gráfica se mantiene entre $+A$ y $-A$ .

Ejercicio 2

¿Cómo crees que un péndulo simple se relaciona con el movimiento armónico simple?

El péndulo simple (masa $m$ suspendida de una cuerda inextensible de longitud $L$ ) se aproxima al MAS para oscilaciones pequeñas, donde $\sin\theta \approx \theta$ . En ese caso la componente tangencial de la fuerza de gravedad es $F_t = -mg\sin\theta \approx -mg\dfrac{x}{L}$ , análoga a la fuerza restauradora de un resorte $F = -kx$ , con $k = \dfrac{mg}{L}$ . El periodo resulta $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ : depende de la longitud $L$ y de la gravedad $g$ , pero no de la amplitud $A$ ni de la masa $m$ , lo que se denomina isocronismo. Por eso el péndulo es el ejemplo físico clásico del MAS.

Contenido de la página

Tema 7: Movimiento armónico simple

![Gráfica: senoide $x(t)$ entre $+A$ y $-A$ contra $t$ , con la ecuación $x(t)=A\cos\omega t$ y $x(t)=A\cos(\omega t+\delta)$ . Fuente: W.W.]

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

CE.CN.F.5.8. Argumenta, experimentalmente, las magnitudes que intervienen en el MAS cuando un resorte se comprime o estira (sin considerar las fuerzas de fricción), a partir de las fuerzas involucradas en MCU (la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia) y la conservación de la energía mecánica cuando el resorte está en posición horizontal o suspendido verticalmente, mediante la identificación de las energías que intervienen en cada caso.

OBJETIVOS

OG.CN.10. Apreciar la importancia de la formación científica, los valores y actitudes propios del pensamiento científico, y adoptar una actitud crítica y fundamentada ante los grandes problemas que hoy plantean las relaciones entre ciencia y sociedad.

Saberes previos

¿Alguna vez has experimentado un movimiento que podría describirse como «hacia adelante y hacia atrás»?
¿Cómo crees que un péndulo simple se relaciona con el movimiento armónico simple?

Texto de Física, pág. 91.

Ejemplos resueltos

Un resorte horizontal sin fricción tiene $k=20\,\text{N/m}$ y el bloque oscila con amplitud $A=0.10\,\text{m}$ . Halla la energía mecánica total y la energía cinética máxima.

La energía mecánica en el MAS es constante: $E=\frac{1}{2}kA^{2}$ . 2. Sustituyendo: $E=\frac{1}{2}(20\,\text{N/m})(0.10\,\text{m})^{2}=10\cdot 0.01=0.10\,\text{J}$ . 3. En los extremos ( $x=\pm A$ ) la velocidad es cero, de modo que $E=U_{e,\max}=\frac{1}{2}kA^{2}=0.10\,\text{J}$ . 4. En el equilibrio ( $x=0$ ) $U_e=0$ , por lo tanto $K_{\max}=E=0.10\,\text{J}$ . Respuesta: $E=K_{\max}=U_{e,\max}=0.10\,\text{J}$ .

Un péndulo de $L=0.49\,\text{m}$ oscila. Calcula su periodo considerando $g=9.8\,\text{m/s}^{2}$ .

Fórmula del periodo del péndulo simple: $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ . 2. Sustitución: $T=2\pi\sqrt{\frac{0.49\,\text{m}}{9.8\,\text{m/s}^{2}}}=2\pi\sqrt{0.05\,\text{s}^{2}}$ . 3. Como $\sqrt{0.05}\approx 0.2236$ : $T\approx 2\pi(0.2236)\approx 1.4\,\text{s}$ . 4. Verificación dimensional: $\sqrt{\text{m}/(\text{m/s}^{2})}=\sqrt{\text{s}^{2}}=\text{s}$ , correcto. Respuesta: $T\approx 1.4\,\text{s}$ .

Tabla

Magnitud	Símbolo	Unidad (SI)	Relación
Amplitud	$A$	m	Máximo desplazamiento
Periodo	$T$	s	Tiempo de una oscilación
Frecuencia	$f$	Hz ( $\text{s}^{-1}$ )	$f=1/T$
Frecuencia angular	$\omega$	rad/s	$\omega=2\pi/T$
Fase inicial	$\delta$	rad	Desplaza la curva en $t$

Fórmulas y ecuaciones

$x(t) = A\cos(\omega t + \delta)$

$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$

$E = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}kx^{2} = \text{constante}$

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

x(t) = $A\cos(\omega$ t)

x(t) = $A\cos(\omega$ t + $\delta)$

$\omega$ = $\frac{2\pi}{T}$

T = $\frac{1}{f}$

f = $\frac{\omega}{2\pi}$

F = -kx

E = K + $U_e$ = $\frac{1}{2}@@MATH_0@@kx^{2}$ = $\frac{1}{2}$ $kA^{2}$

$U_e$ = $\frac{1}{2}$ $kx^{2}$

$T_{pendulo}$ = $2\pi$ $\sqrt{\frac{L}{g}}$

$\sin\theta$ $\approx$ $\theta$

Glosario (8)

Movimiento armónico simple (MAS): Movimiento oscilatorio periódico donde la fuerza neta es restauradora y proporcional al desplazamiento ($F=-kx$), con la posición descrita por una senoide.
Amplitud (A): Valor máximo del desplazamiento respecto a la posición de equilibrio, medida en metros (m).
Periodo (T): Tiempo que tarda el sistema en completar una oscilación completa, en segundos (s).
Frecuencia angular (ω): Radianes por segundo que acumula la fase; se relaciona con el periodo por $\omega=2\pi/T$.
Fase inicial (δ): Ángulo que determina el valor de la posición en $t=0$ y desplaza la curva en el tiempo.
Fuerza restauradora: Fuerza dirigida siempre hacia la posición de equilibrio y proporcional al desplazamiento.
Fuerza centrífuga: Fuerza ficticia que aparece solo en el sistema de referencia rotatorio; no existe en un sistema inercial.
Péndulo simple: Masa puntual suspendida de una cuerda inextensible y sin masa; es MAS para ángulos pequeños.

Preguntas para practicar

¿Alguna vez has experimentado un movimiento que podría describirse como «hacia adelante y hacia atrás»?

Sí, es un movimiento oscilatorio o armónico: por ejemplo un columpio, el péndulo de un reloj o la cuerda de una guitarra. Presenta una posición de equilibrio, una fuerza restauradora y un periodo T constante, y su posición se modela con $x(t)=A\cos(\omega t+\delta)$, oscilando entre $+A$ y $-A$.

¿Cómo crees que un péndulo simple se relaciona con el movimiento armónico simple?

Para ángulos pequeños ($\sin\theta\approx\theta$) la fuerza tangencial $F_t=-mg\sin\theta\approx-\dfrac{mg}{L}x$ es restauradora y proporcional al desplazamiento, como en un resorte con $k=mg/L$. Por lo tanto el péndulo realiza un MAS de periodo $T=2\pi\sqrt{L/g}$, independiente de la masa y, para ángulos pequeños, de la amplitud.

Temas y conceptos clave

Movimiento armónico simple (MAS)Ecuación cosenoidal del MASAmplitud, periodo, frecuencia y fase inicialMagnitudes y fuerzas del MAS en un resorteConservación de la energía mecánicaPéndulo simple como ejemplo de MASMASamplitud $A$periodo $T$frecuencia angular $\omega$fase inicial $\delta$fuerza restauradorafuerza centrífuga ficticiaenergía cinéticaenergía potencial elásticapéndulo simpleisocronismo

Fuentes y referencias

Fuente de la figura: W.W. (citada en la propia página)

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Figuras de la página (1)

Gráfica de $x(t)$ versus $t$ sobre cuadrícula, con una senoide que parte en $x=A$ y oscila entre $+A$ y $-A$; aparecen las ecuaciones $x(t)=A\cos\omega t$ (roja) y $x(t)=A\cos(\omega t+\delta)$ (azul), el período $T$ marcado en rojo, una niña tocando la guitarra y notas musicales (fuente: W.W.) — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué representa la amplitud A en la ecuación del movimiento armónico simple?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el péndulo simple se considera un movimiento armónico?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué energías intervienen en un resorte comprimido sin fricción?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Movimiento circular uniforme (MCU): periodo, frecuencia y aceleración centrípeta
• Senos y cosenos de funciones periódicas
• Fuerza de resorte y energía potencial elástica
• Principio de conservación de la energía

Siguiente tema sugerido

Cinemática del movimiento armónico simple: ecuación de posición, velocidad y aceleración, y sus gráficas.

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TEMA 7:

Movimiento armónico

x(t) A é $ X(t) = A cos wt

Fuente: WW

CRITERIOS DE EVALUACION

CE.CN.F.5.8. Argumenta, experimentalmente, las magnitudes que intervienen en el MAS cuando un resorte se comprime o estira (sin considerar las fuerzas de fricción), a partir de las fuerzas involucradas en MCU (la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia) y la conservación de la energía mecánica cuando el resorte está en posición horizontal o suspendido verticalmente, mediante la identificación de las energías que intervienen en cada caso.

OBJETIVOS

OG.CN.10. Apreciar la importancia de la formación científica, los valores y actitudes propios del pensamiento científico, y, adoptar una actitud crítica y fundamentada ante los grandes problemas que hoy plantean las relaciones entre ciencia y sociedad.

Saberes previos ¿Alguna vez has experimentado un movimiento que podría describirse como "hacia adelante y hacia atrás"? ¿Cómo crees que un péndulo simple se relaciona con el movimiento armónico simple?

Texto de Física \ ‘9,

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