a) Con base en las tomas fotográficas del laboratorio, interpreta: (i) el estado del sistema en "RESORTE EN REPOSO"; (ii) el sentido de los vectores desplazamiento (rojo), velocidad (azul) y aceleración (negro) en la "PRIMERA FOTOGRAFÍA" y por qué la aceleración apunta hacia la marca 0.

a) x=0, v=0, a=0 ; ii) x>0, v>0, a=-^2 x<0

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

94/274

Movimiento armónico simple: interpretación de vectores desplazamiento, velocidad y aceleración

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 94

94 de 274

Anterior Página 94 / 274 Siguiente

Respuesta rápida

En reposo la masa está en $x=0$ y todos los vectores son nulos. En la primera fotografía, desplazamiento (rojo) y velocidad (azul) apuntan hacia abajo (se alejan del equilibrio), mientras que la aceleración (negro) apunta hacia arriba, hacia la posición de equilibrio, ya que $a = -\omega^{2}x$ .

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 94

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 94

a

Analizar las dos tomas fotográficas de un laboratorio: la primera muestra el resorte en reposo y la segunda el primer instante del movimiento, con los vectores desplazamiento (rojo), velocidad (azul) y aceleración (negro), e interpretar lo que ocurre con cada magnitud vectorial.

Parte 94.a

i Toma "RESORTE EN REPOSO"

El resorte está suspendido de un soporte y la masa (caja) cuelga de él sin ninguna deformación extra.
La caja se encuentra exactamente sobre la marca de referencia $-0$ , que indica la posición de equilibrio $x = 0$ .
En equilibrio el peso $\vec{P} = m\vec{g}$ (hacia abajo) y la fuerza elástica del resorte $\vec{F}_{e} = k\vec{x}$ (hacia arriba) se cancelan: $\sum \vec{F} = 0$ .
Por lo tanto, en el reposo se cumple $x = 0$ , $v = 0$ y $a = 0$ : no existe desplazamiento, ni velocidad, ni aceleración.

Respuesta

En reposo la masa está en la posición de equilibrio ( $x = 0$ ), donde el peso y la fuerza elástica se equilibran y todos los vectores tienen longitud nula.

Parte 94.a

ii Toma "PRIMERA FOTOGRAFÍA"

En esta toma la caja está por debajo de la marca $-0$ : se ha separado de la posición de equilibrio hacia abajo.
El vector rojo (desplazamiento $\vec{x}$ ) apunta hacia abajo, es decir, en la dirección alejada de la posición de equilibrio. Si tomamos "hacia abajo" como positivo, entonces $x > 0$ .
El vector azul (velocidad $\vec{v}$ ) también apunta hacia abajo: la masa sigue alejándose del equilibrio, por eso $v$ tiene el mismo signo que $x$ .
El vector negro (aceleración $\vec{a}$ ) apunta en sentido contrario a los anteriores, es decir, hacia arriba y hacia la marca $0$ (el círculo verde destaca esta dirección).
Esto se explica porque la única fuerza neta es la fuerza elástica restauradora $\vec{F}_{e} = -k\vec{x}$ , dirigida siempre hacia la posición de equilibrio. Aplicando la segunda ley de Newton:

$\vec{F}_{\text{neta}} = m\vec{a} \quad \Rightarrow \quad -k x = m a \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{k}{m}\,x = -\omega^{2} x$

con $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ la frecuencia angular del oscilador. 6. La aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo contrario: por eso $\vec{a}$ apunta siempre hacia la posición de equilibrio. Este es el rasgo definitorio del movimiento armónico simple. 7. Como $x > 0$ y $v > 0$ en esta fotografía, la aceleración es negativa ( $a < 0$ ), lo que significa que la masa empieza a desacelerar: su rapidez disminuirá hasta anularse en la posición de máxima elongación. 8. Nota de signos: si el eje está tomado hacia arriba como positivo, entonces $x < 0$ , $v < 0$ y $a > 0$ ; el análisis cualitativo es idéntico: desplazamiento y velocidad en una dirección, aceleración en la dirección opuesta (hacia el equilibrio).

Respuesta

En la primera fotografía el desplazamiento y la velocidad están en la misma dirección (la masa se aleja del equilibrio), mientras que la aceleración apunta en sentido contrario, hacia la posición de equilibrio, cumpliendo $a = -\omega^{2} x$ .

Parte 94.a

iii Comprobación con valores

Supongamos que el resorte tiene $k = 40 \, \text{N/m}$ y la caja $m = 0{,}5 \, \text{kg}$ .
Frecuencia angular: $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{40}{0{,}5}} = \sqrt{80} \approx 8{,}94 \, \text{rad/s}$ .
Si en la fotografía $x = 0{,}10 \, \text{m}$ (hacia abajo, positivo), entonces $a = -\omega^{2} x = -(80)(0{,}10) = -8{,}0 \, \text{m/s}^{2}$ , es decir, $8{,}0 \, \text{m/s}^{2}$ hacia arriba.
Verificación por fuerzas: $F_{e} = kx = (40)(0{,}10) = 4{,}0 \, \text{N}$ hacia arriba; $a = \dfrac{F_{e}}{m} = \dfrac{4{,}0}{0{,}5} = 8{,}0 \, \text{m/s}^{2}$ , con signo negativo porque va en contra de la elongación.

Respuesta

Con $k = 40 \, \text{N/m}$ , $m = 0{,}5 \, \text{kg}$ y $x = 0{,}10 \, \text{m}$ se obtiene $a = -8{,}0 \, \text{m/s}^{2}$ , aceleración dirigida hacia la posición de equilibrio.

Contenido de la página

Página 94 — Texto de Física (BGU 2)

a) En un laboratorio se está analizando este movimiento y un grupo de cámaras especializadas entrega las siguientes tomas:

Toma 1 — "RESORTE EN REPOSO"

Un resorte vertical suspendido de un soporte porta una caja de madera. La caja se encuentra alineada con la marca de referencia "-0", que señala la posición de equilibrio del sistema.

Fuente: https://hn9.cl/qbaer

Toma 2 — "PRIMERA FOTOGRAFÍA"

El mismo sistema, ahora en movimiento: la caja aparece por debajo de la marca de equilibrio "-0", con tres vectores dibujados:

Rojo — desplazamiento: apunta hacia abajo, alejándose de la posición de equilibrio.
Azul — velocidad: también apunta hacia abajo (la masa sigue alejándose del equilibrio).
Negro — aceleración: apunta hacia arriba, es decir, hacia la marca "0" (posición de equilibrio); está rodeado por un círculo verde que destaca su sentido.

Leyenda inferior: ROJO-DESPLAZAMIENTO AZUL-VELOCIDAD NEGRO-ACELERACIÓN

Fuente: https://h9.cl/gp35a

Texto de Física — 93

Ejemplos resueltos

Un resorte de $k = 40 \, \text{N/m}$ sostiene una caja de $m = 0{,}5 \, \text{kg}$ . En la fotografía la caja está a $x = 0{,}10 \, \text{m}$ por debajo del equilibrio y todavía se aleja de él. Calcular la aceleración e interpretar su sentido.

Frecuencia angular: $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{40}{0{,}5}} = \sqrt{80} \approx 8{,}94 \, \text{rad/s}@@MATH_0@@.\n3$ . El signo negativo indica que $\vec{a}$ es opuesto a $\vec{x}$ : la aceleración apunta hacia arriba, hacia la posición de $equilibrio.\n4$ . Como $v > 0$ (masa alejándose) y $a < 0$ , la rapidez va disminuyendo: la masa desacelera hasta detenerse en la elongación máxima.

Tabla

Toma	Posición	Desplazamiento $\vec{x}$	Velocidad $\vec{v}$	Aceleración $\vec{a}$
Resorte en reposo	Sobre la marca $-0$ (equilibrio)	$x = 0$	$v = 0$	$a = 0$
Primera fotografía	Por debajo de la marca $-0$	Hacia abajo (rojo), $x>0$	Hacia abajo (azul), $v>0$	Hacia arriba, hacia el equilibrio (negro), $a=-\omega^2x<0$
Máxima elongación	Extremo inferior del recorrido	$x = A$ (máximo)	$v = 0$	$a = -\omega^2 A$ (máximo, hacia arriba)
Paso por el equilibrio	Sobre la marca $-0$ , en movimiento	$x = 0$	$v = v_{max} = \omega A$	$a = 0$

Diagramas (2)

flowchart LR
  A[Resorte en reposo: x=0, v=0, a=0] --> B[1ª fotografía: x>0, v>0, a<0]
  B --> C[Elongación máxima: x=A, v=0, a=-w²A máx.]
  C --> D[Equilibrio cruzado: x=0, v=v máx., a=0]
  D --> B

graph TD
  S[Sistema resorte-masa] --> X[Desplazamiento x: desde x=0 hasta la posición de la masa]
  S --> V[Velocidad v: dx/dt, misma dirección que el movimiento]
  S --> A[Aceleración a: d²x/dt² = -w²x, hacia la posición de equilibrio]
  X ---|opuesto| A

Fórmulas y ecuaciones

$a = -\omega^{2} x$ (relación fundamental del movimiento armónico simple)

$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$

$F_{e} = -k x$ (fuerza elástica restauradora)

$\vec{F}@@MATH_0@@\text{neta}$ } = m $\vec{a}$

$\vec{F}$ _e = -k $\vec{x}$

-kx = ma $\Rightarrow$ a = - $\frac{k}{m}$ x = $-\omega^2$ x

$\omega$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}$

T = $\frac{2\pi}{\omega}$ = $2\pi$ $\sqrt{\frac{m}{k}}$

Glosario (6)

Oscilador armónico simple: Sistema cuyo movimiento obedece a la ecuación $a = -\omega^2 x$, es decir, la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario.
Posición de equilibrio: Posición en la que las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se cancelan ($x = 0$, $v = 0$, $a = 0$); en el ejemplo, la marca $-0$.
Fuerza restauradora: Fuerza que siempre apunta hacia la posición de equilibrio; en el resorte es $\vec{F}_e = -k\vec{x}$.
Elongación: Distancia entre la posición de equilibrio y la posición instantánea del cuerpo; es el módulo del desplazamiento.
Frecuencia angular: Magnitud $\omega = \sqrt{k/m}$, medida en rad/s, que determina qué tan rápido oscila el sistema.
Desplazamiento: Vector que va desde la posición de equilibrio hasta la posición instantánea del cuerpo.

Preguntas para practicar

¿Por qué en la fotografía la aceleración (vector negro) apunta hacia la posición de equilibrio y no en la dirección del movimiento?

Porque la única fuerza neta sobre la masa es la fuerza elástica restauradora $\vec{F}_e = -k\vec{x}$, que siempre apunta hacia la posición de equilibrio. Por la segunda ley de Newton, $\vec{a} = \vec{F}_e/m$, la aceleración debe tener el mismo sentido que esa fuerza, es decir, opuesto al desplazamiento.

¿Qué ocurriría con el vector de aceleración si en esa fotografía la caja estuviera justo en la marca 0 y moviéndose hacia abajo?

En la posición de equilibrio el resorte no está deformado, por lo que $x=0$ y por $a=-\omega^2x$ se obtiene $a=0$: el vector de aceleración sería nulo. Sin embargo, la velocidad sería máxima, ya que toda la energía es cinética.

Describe el estado del movimiento en la posición de máxima elongación.

En la elongación máxima el desplazamiento alcanza su valor máximo ($x = A$) y la velocidad se anula ($v = 0$) porque la masa cambia de sentido. La aceleración, en cambio, es máxima en módulo ($a_{max} = \omega^2 A$) y apunta completamente hacia la posición de equilibrio.

Temas y conceptos clave

Análisis vectorial del sistema resorte-masaCondición de equilibrio del osciladorRelación $a = -\omega^2 x$ en el movimiento armónico simplePosición de equilibrioElongación del resorteFuerza elástica restauradoraDesplazamiento, velocidad y aceleración como vectoresMovimiento armónico simpleFrecuencia angular $\omega$