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Vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración en el muelle armónico

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Respuesta rápida

Segunda foto: masa sobre el equilibrio; $x>0$ (rojo arriba), $a<0$ (negro abajo, hacia el equilibrio), $v<0$ (azul hacia el equilibrio). Tercera foto: $x<0$ (rojo abajo), $a>0$ (negro arriba), $v>0$ (azul arriba). Siempre $\vec{a}=-\omega^{2}\vec{x}$ .

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Solución — Página 95

Fisica 2° · 2024

Contenido de la página (interpretación de las figuras)

La página 95 (pie de página: 94) del Texto de Física presenta dos capturas de una simulación de un muelle vertical con una masa (caja) unida a su extremo inferior. En ambas se usan tres vectores codificados por color:

Rojo = desplazamiento $\vec{x}$ , medido respecto de la posición de equilibrio.
Azul = velocidad $\vec{v}$ , tangente al movimiento, es decir, hacia la posición de equilibrio.
Negro = aceleración $\vec{a}$ , siempre dirigida hacia la posición de equilibrio.

Las figuras incluyen un círculo verde que representa el movimiento circular uniforme cuya proyección vertical reproduce el MEC (analogía entre MCMU y MEC).

Marco teórico

Para un muelle de constante elástica $k$ y una masa $m$ , la fuerza restauradora es $F = -kx$ y, por la segunda ley de Newton,

$F = ma = -kx \quad \Longrightarrow \quad a = -\frac{k}{m}x$

Se define $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ , de modo que

$a = -\omega^{2} x$

La solución cinemática del MEC es

$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ $a(t) = \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -A\omega^{2}\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^{2}x$

y el periodo es

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Lectura de la SEGUNDA FOTOGRAFÍA

La masa se encuentra por encima de la posición de equilibrio (muelle comprimido), con $x > 0$ .

El vector rojo (desplazamiento) apunta hacia arriba, es decir, desde el equilibrio hasta la posición actual: $x > 0$ .
El vector negro (aceleración) apunta hacia abajo, hacia el equilibrio, porque $a = -\omega^{2}x < 0$ : la aceleración es siempre opuesta al desplazamiento.
El vector azul (velocidad) apunta hacia el equilibrio (hacia la izquierda en el círculo de proyección), lo que indica que la masa regresa hacia el equilibrio; en ese instante $v < 0$ .
En el círculo, el punto de proyección está en el extremo derecho y su vector tangente (velocidad) apunta hacia el centro horizontal, mientras que el vector radial apunta al centro: exactamente lo que ocurre en el muelle.

Lectura de la TERCERA FOTOGRAFÍA

Ahora la masa está por debajo de la posición de equilibrio (muelle estirado), con $x < 0$ .

El vector rojo apunta hacia abajo: $x < 0$ .
El vector negro apunta hacia arriba, hacia el equilibrio, porque $a = -\omega^{2}x > 0$ .
El vector azul (velocidad) apunta hacia arriba, mostrando que la masa sigue moviéndose de regreso hacia el equilibrio; $v > 0$ .
Nuevamente, $\vec{a}$ es antiparalelo a $\vec{x}$ y $\vec{v}$ es tangente al círculo de referencia.

Reglas gráficas que se confirman en ambas fotos

Magnitud	Relación con el equilibrio	Relación con el desplazamiento
Desplazamiento $\vec{x}$	Apunta desde el equilibrio hasta la masa	—
Velocidad $\vec{v}$	Apunta hacia el equilibrio	$v = 0$ cuando $x = \pm A$
Aceleración $\vec{a}$	Apunta hacia el equilibrio (fuerza restauradora)	$\vec{a} = -\omega^{2}\vec{x}$

Conclusión: en el MEC la aceleración es siempre proporcional al desplazamiento y de sentido contrario, por lo que el movimiento oscilatorio es armónico; los tres vectores de la simulación son la representación gráfica directa de $x(t)$ , $v(t)$ y $a(t)$ .

Contenido de la página

Figuras de una simulación de muelle armónico (página 95)

SEGUNDA FOTOGRAFÍA

Imagen: muelle vertical con una caja (masa) unida, comprimida por encima de la posición de equilibrio.
Vectores: rojo (desplazamiento) hacia arriba; negro (aceleración) hacia abajo; azul (velocidad) hacia el equilibrio.
Círculo verde de referencia con el punto de proyección y sus vectores tangente (velocidad) y radial (aceleración).
Leyenda: ROJO–DESPLAZAMIENTO AZUL–VELOCIDAD NEGRO–ACELERACIÓN.
Fuente: https://n9.cl/7251b

TERCERA FOTOGRAFÍA

Imagen: el mismo muelle, ahora estirado, con la caja por debajo de la posición de equilibrio.
Vectores: rojo (desplazamiento) hacia abajo; negro (aceleración) hacia arriba; azul (velocidad) hacia arriba.
Círculo verde de referencia con la proyección del movimiento circular uniforme.
Leyenda: ROJO–DESPLAZAMIENTO AZUL–VELOCIDAD NEGRO–ACELERACIÓN.
Fuente: https://n9.cl/e7xmp

Fuente de la simulación: $http://www.phy.hk/wiki/Eng/springSHM/springSHM_js.htm$

Pie de página: 94 — Texto de Física

Ejemplos resueltos

Un muelle de constante $k = 200\ \text{N/m}$ sostiene una masa de $m = 0,5\ \text{kg}$ . Se calcula la frecuencia angular y el periodo del oscilador.

$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{200}{0,5}} = \sqrt{400} = 20\ \text{rad/s}$ .
$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{20} = \dfrac{\pi}{10} \approx 0,314\ \text{s}$ .
Si en un instante $x = 5\ \text{cm} = 0,05\ \text{m}$ , entonces $a = -\omega^{2}x = -(20)^{2}(0,05) = -20\ \text{m/s}^{2}$ , es decir, dirigido hacia el equilibrio.

Tablas (5)

| Color en la figura | Magnitud | Condición en el MEC |

|---|---|---|

| Rojo | Desplazamiento $\vec{x}$ | Apunta desde el equilibrio hasta la masa; $x=0$ en el equilibrio, $|x|_{\max}=A$ |

| Azul | Velocidad $\vec{v}$ | Máxima en el equilibrio ( $x=0$ ) y nula en los extremos ( $x=\pm A$ ) |

| Negro | Aceleración $\vec{a}$ | $\vec{a}=-\omega^{2}\vec{x}$ : siempre hacia el equilibrio, máxima en los extremos |

Diagrama

flowchart TD
    A[Muelle vertical + masa] --> B[Fuerza restauradora F = -kx]
    B --> C[Segunda ley: a = F/m]
    C --> D[a = -(k/m) x = -ω² x]
    D --> E[Movimiento armónico simple]
    E --> F[x(t) = A cos(ωt + φ)]
    E --> G[v(t) = -Aω sin(ωt + φ)]
    E --> H[a(t) = -ω² x(t)]
    I[Movimiento circular uniforme con ω igual] -->|proyección vertical| E

Fórmulas y ecuaciones

a = $-\omega^{2}$ x

T = $2\pi$ $\sqrt{\frac{m}{k}}$

$\omega$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}$

F = -kx

a = - $\frac{k}{m}$ x

a = $-\omega^{2}x$

x(t) = $A\cos(\omega$ t + $\varphi)$

v(t) = $-A\omega\sin(\omega$ t + $\varphi)$

a(t) = $-A\omega^{2}\cos(\omega$ t + $\varphi)$

$\omega$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}$

T = $2\pi$ $\sqrt{\frac{m}{k}}$

Glosario (5)

Movimiento armónico simple (MEC): Movimiento oscilatorio periódico en el que la fuerza restauradora es proporcional y opuesta al desplazamiento, lo que produce trayectorias sinusoidales en el tiempo.
Fuerza restauradora: Fuerza que siempre apunta hacia la posición de equilibrio; en un muelle cumple la ley de Hooke, F = -kx.
Amplitud (A): Valor máximo que alcanza el desplazamiento respecto de la posición de equilibrio.
Frecuencia angular (ω): Parámetro del MEC con unidades de rad/s, dado por ω = √(k/m); está relacionada con el periodo mediante ω = 2π/T.
Posición de equilibrio: Punto donde la neta de fuerzas sobre la masa es nula y donde se mide el desplazamiento, que se toma como x = 0.

Preguntas para practicar

¿Por qué en ambas fotografías el vector negro (aceleración) siempre apunta hacia la posición de equilibrio?

Porque la fuerza neta sobre la masa es elástica (F = -kx), de modo que, según la segunda ley de Newton, a = F/m = -(k/m)x = -ω²x. La aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario, es decir, dirigida al punto donde se anula la fuerza restauradora.

¿Qué relación existe entre el círculo verde de la figura y el movimiento de la caja en el muelle?

El círculo representa un movimiento circular uniforme de igual frecuencia angular ω que el oscilador. La proyección vertical de ese MCU reproduce exactamente el MEC: el ángulo ωt + φ da la posición x = A cos(ωt + φ), su velocidad tangente es la velocidad del MEC y el vector radial corresponde a la aceleración centrípeta, proporcional a -ω²x.

En la segunda fotografía, ¿en qué instante del ciclo se encuentra la masa y por qué?

La masa está por encima del equilibrio (x > 0) y regresando hacia él, es decir, en la fase de retorno en la mitad superior del ciclo: la aceleración apunta hacia abajo (hacia el equilibrio) y la velocidad también, por lo que se encuentra entre la amplitud positiva y el equilibrio. Si la velocidad fuera cero estaría exactamente en la amplitud; aquí no lo está porque el vector azul no es nulo.

Temas y conceptos clave

Movimiento armónico simple de un muelleVectores de desplazamiento, velocidad y aceleraciónLey de Hooke y fuerza restauradoraAnalogía entre MEC y MCUposición de equilibrioamplitud Acircularidad angular ωperiodo Tfuerza restauradoraaceleración dirigida al equilibrioproyección del movimiento circular uniforme