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Muelle y movimiento circular: gráficas de posición, velocidad y aceleración

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

x(t)=A cos(ωt) y v(t)=−Aω sin(ωt): A1–B1 (x=+A, v=0), A2–B2 (x=0, v máx. negativa), A3–B3 (x=−A, v=0); a=−ω²x.

📚 exercise fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 97

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 2

(página 96)

Enunciado: Un grupo de sensores especializados toma los datos de posición, velocidad y aceleración del movimiento del muelle y su reflexión en el movimiento circular, tal como se muestra en las siguientes gráficas: Posición versus tiempo (rojo = desplazamiento) y Velocidad versus tiempo (azul = velocidad).

Ejercicio 1

Modelo físico del sistema masa-muelle

Al estirar o comprimir un muelle y soltar la masa, este realiza un movimiento armónico simple (MAS) alrededor de su posición de equilibrio. Sus magnitudes se describen con:

$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$

$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi)$

$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\,\omega^{2}\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^{2}x(t)$

con frecuencia angular

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

donde $A$ es la amplitud, $T$ el período y $\varphi$ la fase inicial. La gráfica roja de la página arranca en el extremo positivo, lo que indica $\varphi = 0$ : entonces $x(t) = A\cos(\omega t)$ y $v(t) = -A\omega\sin(\omega t)$ .

Ejercicio 2

Lectura de la gráfica roja: posición versus tiempo

La velocidad instantánea es la pendiente de la curva $x(t)$ : $v = \dfrac{dx}{dt}$ .

Punto A1 (inicio): la curva toca su máximo positivo, $x = +A$ . La tangente es horizontal, pendiente cero, de modo que $v = 0$ . El cuerpo está en reposo en el extremo superior y comienza a bajar. La aceleración en este punto es máxima y negativa: $a = -\omega^{2}A$ .
Punto A2: la curva cruza el eje de tiempos, $x = 0$ (posición de equilibrio). La pendiente es la más negativa de la curva, es decir, el cuerpo tiene velocidad máxima en módulo y sentido negativo (desciende): $v = -A\omega$ . Como $x = 0$ , la aceleración es $a = -\omega^{2}(0) = 0$ .
Punto A3 (valle): la curva alcanza el extremo negativo, $x = -A$ . Nuevamente la tangente es horizontal, $v = 0$ : el cuerpo se detiene en el extremo inferior y la aceleración es máxima y positiva, $a = +\omega^{2}A$ , por lo que vuelve a subir.
Al final de la curva la masa regresa a $x = +A$ , completando un período completo $T$ .

Ejercicio 3

Lectura de la gráfica azul: velocidad versus tiempo

La curva azul corresponde a $v(t) = -A\omega\sin(\omega t)$ , un seno desfasado $90^\circ$ respecto de la curva coseno:

Punto B1 ( $t = 0$ ): $v = -A\omega\sin(0) = 0$ . Coherente con el punto A1: en el extremo del movimiento la velocidad se anula.
Punto B2 ( $t = T/4$ ): $v = -A\omega\sin(\pi/2) = -A\omega$ , valor mínimo de la curva. Es el instante en que la masa cruza el equilibrio hacia abajo con velocidad máxima, coincidente con el punto A2.
Punto B3 ( $t = T/2$ ): $v = -A\omega\sin(\pi) = 0$ . Coincide con A3: la masa se detiene en el extremo inferior.
Punto B4 ( $t = 3T/4$ ): $v = -A\omega\sin(3\pi/2) = +A\omega$ , máximo de la curva. La masa cruza el equilibrio hacia arriba con velocidad máxima.
Al final del período, $v = 0$ otra vez, al estar de nuevo en $x = +A$ .

Correspondencia entre las dos gráficas:

Instante	Posición $x$	Velocidad $v$	Aceleración $a = -\omega^2 x$	Gráficas
$t=0$	$+A$ (máx. positiva)	$0$	$-\omega^{2}A$ (máx. negativa)	A1 ↔ B1
$t=T/4$	$0$ (equilibrio)	$-A\omega$ (máx. negativa)	$0$	A2 ↔ B2
$t=T/2$	$-A$ (máx. negativa)	$0$	$+\omega^{2}A$ (máx. positiva)	A3 ↔ B3
$t=3T/4$	$0$ (equilibrio)	$+A\omega$ (máx. positiva)	$0$	(final de B4)
$t=T$	$+A$	$0$	$-\omega^{2}A$	cierre

Regla general verificable: $v = 0$ siempre que $x = \pm A$ (extremos) y $|v|$ es máxima siempre que $x = 0$ (equilibrio), porque $v^{2} = \omega^{2}(A^{2} - x^{2})$ .

Ejercicio 4

Reflexión en el movimiento circular

La posición vertical de un punto que describe un círculo de radio $A$ con velocidad angular $\omega$ es

$y = A\cos(\omega t)$

es decir, la proyección vertical del movimiento circular uniforme reproduce exactamente el MAS del muelle. La velocidad tangencial del punto es $v_{t} = A\omega$ ; su componente vertical es

$v_{y} = \frac{dy}{dt} = -A\omega\sin(\omega t)$

que es precisamente la curva azul B1–B4. Por eso las dos gráficas son la misma información vista de dos maneras: cinemática del muelle y proyección del movimiento circular.

Ejercicio 5

Comprobación cuantitativa (ejemplo numérico)

Supongamos, según la descripción gráfica, una amplitud $A = 20\,\text{cm}$ y un período $T = 2\,\text{s}$ . Entonces:

Frecuencia angular: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\,\text{rad/s} \approx 3{,}14\,\text{rad/s}$ .
Velocidad máxima (puntos B2 y B4): $v_{\text{máx}} = A\omega = 20\times\pi \approx 62{,}8\,\text{cm/s} \approx 0{,}63\,\text{m/s}$ .
Aceleración máxima (puntos A1 y A3): $a_{\text{máx}} = A\omega^{2} = 20\times\pi^{2} \approx 197{,}4\,\text{cm/s}^{2} \approx 1{,}97\,\text{m/s}^{2}$ .
La aceleración máxima es proporcional al cuadrado de la frecuencia: si se duplica $\omega$ , se cuadruplica $a_{\text{máx}}$ , pero $v_{\text{máx}}$ solo se duplica.

Respuesta

La curva roja $x(t)=A\cos\omega t$ y la azul $v(t)=-A\omega\sin\omega t$ describen el MAS del muelle; los pares A1–B1, A2–B2 y A3–B3 son instantes simultáneos de reposo, velocidad máxima (equilibrio) y reposo (extremo inferior), respectivamente, y ambas curvas son la proyección del movimiento circular.

Contenido de la página

2. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

Un grupo de sensores especializados toma los datos de posición, velocidad y aceleración del movimiento del muelle y su reflexión en el movimiento circular, tal como se muestra en las siguientes gráficas:

POSICIÓN VERSUS TIEMPO

Gráfica roja (desplazamiento): curva coseno que parte de su valor máximo positivo (punto A1), cruza el eje de tiempos en A2 (posición de equilibrio), alcanza su mínimo en A3 (extremo inferior) y regresa al máximo positivo, completando un período. A la izquierda se ilustra la masa colgada de un muelle.

Fuente: https://ln9.ci/dl3m5

VELOCIDAD VERSUS TIEMPO

Gráfica azul (velocidad): curva seno invertido que parte de cero en B1, alcanza su mínimo en B2, vuelve a cero en B3, alcanza su máximo en B4 y regresa a cero. A la izquierda se muestra la misma masa con el muelle y un cronómetro.

Fuente: https://ln9.ci/kxww7z

La página funciona como contexto-problema: las actividades y preguntas correspondientes se desarrollan en la página siguiente (98).

Pie de página: 96 — Texto de Física.

Ejemplos resueltos

Con amplitud $A = 20\,\text{cm}$ y período $T = 2\,\text{s}$ , calcular $\omega$ , la velocidad máxima y la aceleración máxima del muelle.

$\omega = 2\pi/T = 2\pi/2 = \pi\,\text{rad/s} \approx 3{,}14\,\text{rad/s}$ .
$v_{\text{máx}} = A\omega = 20\times\pi \approx 62{,}8\,\text{cm/s} \approx 0{,}63\,\text{m/s}$ .
$a_{\text{máx}} = A\omega^{2} = 20\times\pi^{2} \approx 197{,}4\,\text{cm/s}^{2} \approx 1{,}97\,\text{m/s}^{2}$ .
Verificación: $v^{2} = \omega^{2}(A^{2}-x^{2})$ con $x=0$ da $v = A\omega$ , igual al valor encontrado.

Tabla

Instante	Posición x	Velocidad v	Aceleración a = −ω²x	Puntos
t = 0	+A (máx. positiva)	0	−ω²A (máx. negativa)	A1 ↔ B1
t = T/4	0 (equilibrio)	−Aω (máx. negativa)	0	A2 ↔ B2
t = T/2	−A (máx. negativa)	0	+ω²A (máx. positiva)	A3 ↔ B3
t = 3T/4	0 (equilibrio)	+Aω (máx. positiva)	0	B4
t = T	+A	0	−ω²A	fin del período

Diagrama

graph LR
  A1[A1: x=+A, v=0] --- B1[B1: v=0]
  A2[A2: x=0, v=-Aω] --- B2[B2: v=-Aω mínima]
  A3[A3: x=-A, v=0] --- B3[B3: v=0]
  B2 --- B4[B4: v=+Aω máxima]
  A1 -->|t=0| A2 -->|t=T/4| A3 -->|t=T/2| A4[x=0, v=+Aω] -->|t=3T/4| A5[x=+A, v=0]

Fórmulas y ecuaciones

a(t) = $-\omega^{2}$ x(t) : la aceleración es proporcional y opuesta al desplazamiento (aceleración restauradora).

$v_{@@MATH_0@@\text{máx}$ } = $A\omega^{2}$

x(t) = $A\cos(\omega$ t + $\varphi)$

v(t) = $\frac{dx}{dt}$ = $-A\,\omega\,\sin(\omega$ t + $\varphi)$

a(t) = $\frac{dv}{dt}$ = $-\omega^{2}x(t)$

$\omega$ = $\frac{2\pi}{T}$

$v^{2}$ = $\omega^{2}(A^{2}$ - $x^{2})$

$v_{$ $\text{máx}$ } = $A\omega$

Glosario (6)

Movimiento armónico simple: Movimiento periódico y oscilatorio en el que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto a él, de modo que la posición varía como un seno o un coseno del tiempo.
Amplitud (A): Valor máximo del desplazamiento respecto de la posición de equilibrio, medido en unidades de longitud.
Período (T): Tiempo que tarda el oscilador en completar una oscilación completa y repetir su estado.
Frecuencia angular (ω): Radianes recorridos por unidad de tiempo, relacionada con el período por ω = 2π/T.
Posición de equilibrio: Punto donde el desplazamiento del muelle es cero y, por tanto, la fuerza restauradora y la aceleración también son cero.
Proyección del movimiento circular: Valor de la componente vertical (u horizontal) de un punto que describe un círculo con rapidez angular constante; reproduce un movimiento armónico simple.

Preguntas para practicar

¿Por qué en los puntos A1 y A3 de la gráfica de posición versus tiempo la velocidad vale cero, aunque el cuerpo está en movimiento?

En A1 y A3 la curva de posición alcanza sus extremos (máximo y mínimo), donde la tangente es horizontal; la pendiente de la gráfica x–t representa la velocidad instantánea, de modo que v = 0. Físicamente, en esos instantes la masa se detiene antes de cambiar de sentido, y la aceleración es máxima precisamente porque la fuerza restauradora del muelle es máxima en los extremos del desplazamiento.

¿Qué relación hay entre la gráfica roja (posición) y la azul (velocidad)?

La curva azul es la derivada de la curva roja: si x(t)=A cos(ωt), entonces v(t)=−Aω sin(ωt). Por eso los máximos y mínimos de la posición corresponden a los ceros de la velocidad (A1↔B1 y A3↔B3), y los ceros de la posición corresponden a los extremos de la velocidad (A2↔B2). Las dos gráficas están desfasadas 90°.

Explique cómo el movimiento circular uniforme explica la forma de las gráficas de la página.

Si un punto recorre un círculo de radio A con velocidad angular ω, su proyección vertical es y = A cos(ωt), que es exactamente la gráfica roja. La componente vertical de su velocidad tangencial (v_t = Aω) es v_y = −Aω sin(ωt), que reproduce la gráfica azul. Así, el MAS del muelle es la sombra de un movimiento circular uniforme proyectado sobre una recta.

¿Qué le ocurre a la amplitud de las gráficas si se cambia la masa por una más pesada, manteniendo el mismo muelle?

El período aumenta, T = 2π√(m/k), por lo que ω disminuye. Al reducirse ω, la velocidad máxima Aω y la aceleración máxima Aω² se reducen, mientras que la amplitud solo cambia si se modifica la energía inicial. En la gráfica azul la curva se aplanaría y se estiría en el tiempo; en la roja, el coseno sería más «largo» pero de igual amplitud si no se entrega nueva energía.

Temas y conceptos clave

Movimiento armónico simple del sistema masa-muelleInterpretación de gráficas posición-tiempo y velocidad-tiempoRelación entre pendiente de la gráfica x-t y velocidadProyección del movimiento circular uniformemovimiento armónico simpleamplitudperíodofrecuencia angularposición de equilibrioextremos del movimientoproyección verticalaceleración restauradora