A partir de la ecuación del escáner y = 10 sen(5t + π/2) cm y la masa del amortiguador m = 40 kg, determinar los datos que solicita el encargado de garantías (amplitud, frecuencia angular, período, frecuencia, constante k, aceleración y fuerza máximas).

A = 10 cm, = 5 rad/s, T ≈ 1,26 s, f ≈ 0,80 Hz, k = 1000 N/m, F_max = 100 N

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Amortiguadores: frecuencia, masa y ecuación del movimiento

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Respuesta rápida

3.c: No; al duplicarse la masa, $f = f_0/\sqrt{2} \approx 0{,}707\,f_0$ , no la mitad. 4: $A = 10\,\text{cm}$ , $\omega = 5\,\text{rad/s}$ , $T \approx 1{,}26\,\text{s}$ , $f \approx 0{,}80\,\text{Hz}$ , $k = 1000\,\text{N/m}$ , $F_{max} = 100\,\text{N}$ .

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Solución — Página 102

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 3

c

Si al vehículo ingresan dos personas adicionales de 160 kg cada una (misma masa que las dos iniciales), la masa total se duplica. ¿Será la frecuencia la mitad? Argumentar.

La frecuencia natural de un sistema masa-resorte es

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Estado inicial (dos personas): masa $m_0$ , frecuencia $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_0}}$ .
Estado final: se suman 2 × 160 kg = 320 kg, igual a la masa inicial de las dos personas, por lo que la masa total pasa de $m_0$ a $2m_0$ .
Sustituyo la masa duplicada:

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{2m_0}} = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{k}{m_0}} = \frac{f_0}{\sqrt{2}}$

Evaluación numérica:

$f = 0{,}707\,f_0 \approx 70{,}7\% \,\text{de } f_0$

Respuesta

No. La frecuencia no se reduce a la mitad, sino a $f_0/\sqrt{2} \approx 0{,}707\,f_0$ (un 29,3 % de disminución), porque la frecuencia es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa, no a la masa directamente.

Ejercicio 4

El escáner registró la ecuación del amortiguador $y = 10\,\text{sen}\left(5t + \frac{\pi}{2}\right)$ cm, con masa $m = 40\,\text{kg}$ . A partir de estos datos se pueden obtener los parámetros que solicita la garantía.

Comparo con la forma general $y = A\,\text{sen}(\omega t + \varphi)$ :

Amplitud: $A = 10\,\text{cm} = 0{,}10\,\text{m}$ .
Desfase: $\varphi = \frac{\pi}{2}\,\text{rad} = 90^\circ$ (el movimiento empieza en su máximo positivo, ya que $\text{sen}(\pi/2) = 1$ ).
Frecuencia angular: $\omega = 5\,\text{rad/s}$ .
Periodo: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5} \approx 1{,}26\,\text{s}$ .
Frecuencia: $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{5}{2\pi} \approx 0{,}80\,\text{Hz}$ . Esto indica que el amortiguador oscila unas 48 veces por minuto.
Constante del resorte equivalente: $k = m\omega^2 = 40 \cdot 5^2 = 40 \cdot 25 = 1000\,\text{N/m}$ .
Velocidad máxima: $v_{max} = A\omega = 10 \cdot 5 = 50\,\text{cm/s} = 0{,}5\,\text{m/s}$ .
Aceleración máxima: $a_{max} = A\omega^2 = 10 \cdot 25 = 250\,\text{cm/s}^2 = 2{,}5\,\text{m/s}^2$ .
Fuerza máxima restauradora: $F_{max} = m\,a_{max} = 40 \cdot 2{,}5 = 100\,\text{N}$ .

¿Sabías qué? Los amortiguadores están anclados al chasis y a los ejes; disipan la energía del rebote para que el vehículo transite suavemente los desniveles.

Respuesta

$A = 10\,\text{cm}$ , $\omega = 5\,\text{rad/s}$ , $T \approx 1{,}26\,\text{s}$ , $f \approx 0{,}80\,\text{Hz}$ , $k = 1000\,\text{N/m}$ , $v_{max} = 0{,}5\,\text{m/s}$ , $a_{max} = 2{,}5\,\text{m/s}^2$ , $F_{max} = 100\,\text{N}$ .

Contenido de la página

Ejercicio 3.c

Si al vehículo ingresan dos personas adicionales que cuentan con la misma masa (160 kg) a las que ya se encontraban dentro, entonces, ¿la frecuencia sería la mitad comparada a la que obteníamos solo con las dos personas iniciales? Argumento mi respuesta.

Ejercicio 4

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

El propietario de una camioneta realizó el mantenimiento a los 50 000 km; sin embargo, al retirar su vehículo escucha un ruido extraño en la parte posterior derecha, por lo que decide regresar al taller y hacer el respectivo reclamo. Uno de los técnicos realiza pruebas a fin de solicitar garantía del repuesto, pues, al parecer, tiene un defecto de fábrica; no obstante, el encargado de las garantías solicita algunos datos para poder comprobar el estado del amortiguador.

La ecuación mostrada por el scanner antes de fallar es la siguiente:

$y = 10\,\text{sen}\left(5t + \frac{\pi}{2}\right)\,\text{cm}$

La masa del amortiguador es de 40 kilogramos.

¿Sabías qué?

Los amortiguadores son mecanismos que se encuentran en los ejes de los automóviles anclados al chasis y carrocería del vehículo, cuya función principal es la de suavizar el movimiento de los vehículos en desniveles.

Ejemplos resueltos

Dos personas de 160 kg suben a un vehículo que ya llevaba dos personas iguales. ¿La frecuencia se reduce a la mitad?

La masa total pasa de m₀ a 2m₀. Como f = (1/2π)√(k/m), entonces f = (1/2π)√(k/2m₀) = f₀/√2 ≈ 0,707 f₀. Se reduce un 29,3 %, no a la mitad.

Del escáner se obtuvo y = 10 sen(5t + π/2) cm con m = 40 kg. Hallar los parámetros del amortiguador.

A = 10 cm, ω = 5 rad/s, φ = π/2. T = 2π/ω ≈ 1,26 s; f ≈ 0,80 Hz; k = mω² = 40·25 = 1000 N/m; $a_max$ = Aω² = 2,5 m/s²; $F_max$ = $m\cdota_max$ = 100 N.

Tabla

Magnitud	Símbolo	Valor obtenido	Unidad
Amplitud	A	10	cm
Frecuencia angular	ω	5	rad/s
Desfase	φ	π/2	rad
Período	T	≈ 1,26	s
Frecuencia	f	≈ 0,80	Hz
Constante de rigidez	k	1000	N/m
Velocidad máxima	$v_max$	0,5	m/s
Aceleración máxima	$a_max$	2,5	m/s²
Fuerza máxima	$F_max$	100	N

Diagrama

flowchart LR
  A[Ecución del escáner y = 10 sen(5t + π/2) cm] --> B[A = 10 cm]
  A --> C[ω = 5 rad/s]
  A --> D[φ = π/2 rad]
  C --> E[T = 2π/ω ≈ 1,26 s]
  C --> F[f = ω/2π ≈ 0,80 Hz]
  B --> G[a_max = Aω² = 2,5 m/s²]
  B --> H[v_max = Aω = 0,5 m/s]
  G --> I[F_max = m·a_max = 100 N]
  C --> J[k = mω² = 1000 N/m]

Fórmulas y ecuaciones

f = $\frac{1}{2\pi}$ $\sqrt{\frac{k}{m}}$

k = $m\omega^2$

y = $10\$ , $\text{sen}@@MATH_0@@\right)\$ , $\text{cm}$

f = $\frac{1}{2\pi}$ $\sqrt{\frac{k}{m}}$

f = $\frac{f_0}{\sqrt{2}}$ $\approx$ $0{,}707\,f_0$

y = $A\$ , $\text{sen}$ $(\omega$ t + $\varphi)$

T = $\frac{2\pi}{\omega}$

f = $\frac{\omega}{2\pi}$

k = $m\omega^2$

$v_{max}$ = $A\omega$

$a_{max}$ = $A\omega^2$

$F_{max}$ = $m\,a_{max}$

Glosario (6)

Movimiento armónico simple: Oscilación periódica donde la fuerza restauradora es directamente proporcional al desplazamiento y de signo opuesto.
Frecuencia angular (ω): Número de radianes que recorre el oscilador por unidad de tiempo, medida en rad/s.
Amplitud (A): Desplazamiento máximo respecto a la posición de equilibrio.
Desfase (φ): Ángulo inicial que determina el estado del oscilador en t = 0.
Constante de rigidez (k): Constante que relaciona la fuerza restauradora con el desplazamiento, según F = −kx.
Amortiguador: Dispositivo que disipa energía para reducir la amplitud de las oscilaciones en un vehículo.

Preguntas para practicar

¿Por qué la frecuencia no se reduce a la mitad al duplicar la masa?

Porque la frecuencia es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa; al duplicar la masa, la frecuencia queda dividida entre √2, es decir, ≈ 0,707 de la frecuencia inicial (una reducción del 29,3 %, no del 50 %).

¿Qué le pedirías al encargado de garantías como datos comprobables del amortiguador?

Se le entregaría la amplitud de 10 cm, la frecuencia ≈ 0,80 Hz, el período ≈ 1,26 s y la constante k = 1000 N/m; una disminución de k respecto al valor nominal indicaría que el repuesto tiene defecto de fábrica.

Temas y conceptos clave

Movimiento armónico simpleInfluencia de la masa en la frecuenciaParámetros de una ecuación armónicaAplicación: amortiguadores vehicularesFrecuencia naturalFrecuencia angularAmplitudDesfaseConstante de rigidezRaíz cuadrada de la masa

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Preguntas que la gente también hace

¿Por qué la frecuencia no se reduce a la mitad si se duplica la masa?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se obtiene la constante k de un resorte a partir de la ecuación del movimiento?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué magnitudes se leen directamente de una ecuación de la forma y = A sen(ωt + φ)?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Ecuación general del movimiento armónico simple
• Relación entre frecuencia angular, frecuencia y período
• Leyes de Newton y fuerza restauradora
• Manipulación de raíces y potencias

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Movimiento amortiguado y forzado: por qué los amortiguadores evitan que el vehículo oscile indefinidamente.

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c) Si al vehículo ingresan dos personas adicionales que cuentan con la misma masa (160 kg) a las que ya se encontraban dentro, entonces, ¿la frecuencia sería la mitad comparada a la que obteníamos solo con las dos personas iniciales? Argumento mi respuesta.

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

El propietario de una camioneta realizó el mantenimiento a los 50 000 km, sin embargo, al retirar su vehículo escucha un ruido extraño en la parte posterior derecha, por lo que decide regresar al taller y hacer el respectivo reclamo. Uno de los técnicos realiza pruebas a fin de solicitar garantía del repuesto, pues, al parecer, tiene un defecto de fábrica, no obstante, el encargado de las garantías solicita algunos datos para poder comprobar el estado del amortiguador.

La ecuación mostrada por el scanner antes de fallar es la siguiente: