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Verdadero o falso sobre la fuerza gravitatoria de la Luna y las mareas

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Respuesta rápida

i) F: la fuerza lunar es mayor en el punto cercano ( $r=d-R$ ) que en el alejado ( $r=d+R$ ), porque $F=GMm/r^{2}$ . ii) F: las mareas vienen de la atracción de la Luna/Sol sobre la Tierra, no al revés. iii) F: el Sol atrae a la Tierra con $\approx179$ veces la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna.

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Solución — Página 208

Fisica 3° · 2024

207

Ejercicio 207

Enunciado. Con base en la teoría del campo gravitacional y las leyes de Kepler, establezca si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F) y justifique.

Constantes utilizadas: $G = 6{,}674\times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ , $M_{\text{T}} = 5{,}972\times 10^{24}\ \text{kg}$ , $M_{\text{L}} = 7{,}342\times 10^{22}\ \text{kg}$ , $M_{\text{S}} = 1{,}989\times 10^{30}\ \text{kg}$ , $R_{\text{T}} = 6{,}371\times 10^{6}\ \text{m}$ , $d_{\text{Tierra–Luna}} = 3{,}844\times 10^{8}\ \text{m}$ , $d_{\text{Sol–Tierra}} = 1{,}496\times 10^{11}\ \text{m}$ .

Ley de la gravitación universal:

$F = G\frac{M\,m}{r^{2}}$

Parte 207.i

"La fuerza que la Luna ejerce sobre una porción de masa del océano de la superficie de la Tierra es la misma, tanto en su punto más cercano a la Luna como en su punto más alejado de esta." → Falsa (F).

La fuerza depende de la distancia $r$ entre la masa del océano y la Luna, y esa distancia NO es constante sobre la superficie terrestre.
Punto más cercano (marea alta): $r_{\min} = d - R_{\text{T}} = 3{,}844\times 10^{8} - 6{,}371\times 10^{6} = 3{,}780\times 10^{8}\ \text{m}$ .
Punto más alejado (marea baja en la cara opuesta): $r_{\max} = d + R_{\text{T}} = 3{,}844\times 10^{8} + 6{,}371\times 10^{6} = 3{,}908\times 10^{8}\ \text{m}$ .
Campo de la Luna en cada punto (por unidad de masa, g_{\text{L}} = G M_{\text{L}}/r^{2}):
- $g_{\text{L}}(r_{\min}) = \dfrac{6{,}674\times10^{-11}\cdot 7{,}342\times10^{22}}{(3{,}780\times10^{8})^{2}} = \dfrac{4{,}90\times10^{12}}{1{,}4288\times10^{17}} = 3{,}43\times10^{-5}\ \text{N/kg}$ .
- $g_{\text{L}}(r_{\max}) = \dfrac{4{,}90\times10^{12}}{(3{,}908\times10^{8})^{2}} = \dfrac{4{,}90\times10^{12}}{1{,}5272\times10^{17}} = 3{,}21\times10^{-5}\ \text{N/kg}$ .
Comparación: $\dfrac{g_{\text{L}}(r_{\min})}{g_{\text{L}}(r_{\max})} = \left(\dfrac{r_{\max}}{r_{\min}}\right)^{2} = \left(\dfrac{3{,}908\times10^{8}}{3{,}780\times10^{8}}\right)^{2} = (1{,}0339)^{2} = 1{,}069$ .
La fuerza sobre el lado cercano es aproximadamente un $6{,}9\%$ mayor; para una masa $m$ de agua, $F_{\min} - F_{\max} \approx 2\,G M_{\text{L}} m R_{\text{T}}/d^{3} \neq 0$ . Esa diferencia (fuerza de marea) es justo lo que genera las mareas.

Respuesta

F (falsa)**; la fuerza es mayor en el punto cercano que en el alejado.

207

Ejercicio 207

ii

"Las mareas se asocian con la atracción que la Tierra ejerce sobre la Luna." → Falsa (F).

Las mareas son un fenómeno que ocurre en la superficie de la Tierra, por lo que su causa debe estar en la atracción que la Luna (y el Sol) ejerce sobre la Tierra, no a la inversa.
Esa atracción no es uniforme: la masa oceánica del lado cercano a la Luna se acelera más que el centro terrestre y la masa del lado opuesto se acelera menos; estas diferencias (fuerzas de marea, o "diferencia de fuerzas gravitatorias") elevan el agua en dos antípodas y producen las dos mareas diarias.
La fuerza que la Tierra ejerce sobre la Luna es, por la tercera ley de Newton (acción–reacción), igual y opuesta a la que la Luna ejerce sobre la Tierra ( $F_{\text{T}\to\text{L}} = F_{\text{L}\to\text{T}}$ ), pero es la que mantiene a la Luna en su órbita alrededor de la Tierra, y de ninguna forma explica la subida del agua en los océanos terrestres.
Apoyo con las leyes de Kepler: la tercera ley ( $T^{2}\propto a^{3}$ ) describe la órbita de la Luna alrededor de la Tierra (o la de la Tierra alrededor del Sol), no el comportamiento del agua en la superficie.

Respuesta

F (falsa)**; las mareas se originan en la diferencia de atracción que la Luna y el Sol ejercen sobre la Tierra.

207

Ejercicio 207

iii

"La Tierra atrae a la Luna con la misma fuerza que la ejercida por el Sol sobre la Tierra." → Falsa (F).

Fuerza Tierra ↔ Luna (igual en módulo por acción–reacción): $F_{\text{T}\to\text{L}} = F_{\text{L}\to\text{T}} = G\frac{M_{\text{T}}M_{\text{L}}}{d^{2}} = \frac{(6{,}674\times10^{-11})(5{,}972\times10^{24})(7{,}342\times10^{22})}{(3{,}844\times10^{8})^{2}} = \frac{2{,}93\times10^{37}}{1{,}478\times10^{17}} \approx 1{,}98\times10^{20}\ \text{N}$
Fuerza Sol → Tierra: $F_{\text{S}\to\text{T}} = G\frac{M_{\text{S}}M_{\text{T}}}{(d_{\text{ST}})^{2}} = \frac{(6{,}674\times10^{-11})(1{,}989\times10^{30})(5{,}972\times10^{24})}{(1{,}496\times10^{11})^{2}} = \frac{7{,}93\times10^{44}}{2{,}238\times10^{22}} \approx 3{,}54\times10^{23}\ \text{N}$
Comparación: $\dfrac{F_{\text{S}\to\text{T}}}{F_{\text{T}\to\text{L}}} = \dfrac{3{,}54\times10^{23}}{1{,}98\times10^{20}} \approx 179$ .
Es decir, el Sol atrae a la Tierra con una fuerza de unas $179$ veces la que la Tierra ejerce sobre la Luna (una masa mucho mayor y una distancia de $3{,}89\times10^{5}$ veces mayor al cuadrado no compensan el factor de masa).

Respuesta

F (falsa)**; $F_{\text{S}\to\text{T}} \approx 179\, F_{\text{T}\to\text{L}}$ .

Contenido de la página

Ejercicio 207

Enunciado. Con base en la teoría del campo gravitacional y las leyes de Kepler, establezca si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F) y justifique.

i) Fuerza de la Luna sobre el agua del océano (cara cercana vs. cara opuesta)

Afirmación: la fuerza es la misma en el punto más cercano y en el más alejado de la Luna. → F (falsa). $r_{\min}=d-R_{\text{T}}=3{,}780\times10^{8}$ m; $r_{\max}=d+R_{\text{T}}=3{,}908\times10^{8}$ m. Como $F=GMm/r^{2}$ , $g_{\text{L}}$ vale $3{,}43\times10^{-5}$ N/kg cerca y $3{,}21\times10^{-5}$ N/kg lejos: la fuerza cercana es ≈ 6,9 % mayor.

ii) Origen de las mareas

Afirmación: las mareas se asocian con la atracción que la Tierra ejerce sobre la Luna. → F (falsa). Las mareas ocurren en la Tierra y se deben a la atracción diferencial que la Luna y el Sol ejercen sobre la Tierra (fuerzas de marea); la reacción Tierra→Luna mantiene a la Luna en órbita.

iii) Comparación Tierra–Luna y Sol–Tierra

Afirmación: la Tierra atrae a la Luna con la misma fuerza que el Sol ejerce sobre la Tierra. → F (falsa). $F_{\text{T}\to\text{L}}\approx1{,}98\times10^{20}$ N y $F_{\text{S}\to\text{T}}\approx3{,}54\times10^{23}$ N, es decir ≈ 179 veces mayor.

Ejemplos resueltos

Calcular la razón entre la atracción del Sol y la de la Luna sobre la Tierra.

$\dfrac{F_{S\to T}}{F_{L\to T}} = \dfrac{M_{S}}{M_{L}}\left(\dfrac{d}{d_{ST}}\right)^{2} = \dfrac{1{,}989\times10^{30}}{7{,}342\times10^{22}}\left(\dfrac{3{,}844\times10^{8}}{1{,}496\times10^{11}}\right)^{2} = 2{,}709\times10^{7}\times(2{,}57\times10^{-6})^{2} \approx 179$ . El Sol atrae a la Tierra unas 179 veces más que la Luna.

Tabla

Cuerpo	Masa	Distancia de referencia	Fuerza sobre la Tierra
Luna	$7{,}342\times10^{22}$ kg	$3{,}844\times10^{8}$ m	$1{,}98\times10^{20}$ N
Sol	$1{,}989\times10^{30}$ kg	$1{,}496\times10^{11}$ m	$3{,}54\times10^{23}$ N

Afirmación	Calificación	Justificación
i) Fuerza lunar igual en ambos extremos de la Tierra	F	$r_{\min}\neq r_{\max}$ , y $F\propto 1/r^{2}$
ii) Mareas por la atracción Tierra→Luna	F	Las mareas se deben a la atracción Luna/Sol sobre la Tierra
iii) $F_{\text{T}\to\text{L}}=F_{\text{S}\to\text{T}}$	F	$F_{\text{S}\to\text{T}}\approx179\,F_{\text{T}\to\text{L}}$

Diagrama

flowchart TD
    A[Afirmación: fuerza lunar igual cerca y lejos] --> B[Calculamos r_min = d - R_T = 3.780e8 m]
    A --> C[Calculamos r_max = d + R_T = 3.908e8 m]
    B --> D[F = G M m / r^2 → g cerca = 3.43e-5 N/kg]
    C --> E[F = G M m / r^2 → g lejos = 3.21e-5 N/kg]
    D --> F{¿Son iguales?}
    E --> F
    F -->|No, difieren 6.9%| G[Respuesta: FALSA]

Fórmulas y ecuaciones

F = G $\dfrac{M\,m}{r^{2}}$

g = $\dfrac{G\,M}{r^{2}}$

$T^{2}$ = $\dfrac{4\pi^{2}a^{3}}{G(M_{1}+M_{2})}$

F = G $\frac{M\,m}{r^{2}}$

$g_{L}(r)$ = $\frac{G\,M_{L}}{r^{2}}$

$r_{\min}$ = d - $R_{T}$

$r_{\max}$ = d + $R_{T}$

$\frac{g_{L}(r_{\min})}{g_{L}(r_{\max})}$ = $\left(@@MATH_0@@\right)^{2}$

$F_{T\to$ L} = G $\frac{M_{T}M_{L}}{d^{2}}$

$F_{S\to$ T} = G $\frac{M_{S}M_{T}}{(d_{ST})^{2}}$

$\frac{F_{S\to T}}{F_{T\to L}}$ = $\frac{M_{S}}{M_{L}}@@MATH_0@@\frac{d}{d_{ST}}$ $\right)^{2}$

Glosario (5)

Campo gravitatorio: Vector que representa la fuerza gravitatoria por unidad de masa en un punto del espacio, $g=GM/r^{2}$.
Fuerza de marea: Diferencia de la atracción gravitatoria que un cuerpo (Luna o Sol) ejerce sobre las distintas partes de la Tierra; provoca las mareas.
Marea: Ascenso y descenso periódico del nivel del océano producido por la acción diferencial de la Luna y el Sol.
Acción y reacción: Tercera ley de Newton: las fuerzas que dos cuerpos se ejercen mutuamente son iguales en módulo y opuestas en dirección.
Ley de la gravitación universal: Todo par de masas se atrae con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros.

Preguntas para practicar

¿Por qué las mareas se asocian con la atracción que la Tierra ejerce sobre la Luna?

No se asocian con ella: es un error de causa y efecto. Las mareas son un fenómeno terrestre causado por la atracción diferencial (fuerza de marea) que la Luna y el Sol ejercen sobre la Tierra. La fuerza de reacción Tierra→Luna, por la tercera ley de Newton, es igual en módulo pero actúa sobre la Luna y se encarga de mantenerla en órbita, como la tercera ley de Kepler describe el movimiento orbital.

¿Qué relación mantienen las leyes de Kepler con el campo gravitacional?

Las tres leyes de Kepler son consecuencias de la ley de la gravitación universal $F=GMm/r^{2}$. La segunda ley (igual áreas en tiempos iguales) equivale a la conservación del momento angular por ser una fuerza central; la tercera ley, $T^{2}=4\pi^{2}a^{3}/[G(M_1+M_2)]$, se deriva del balance entre la gravedad y el movimiento circular/ elíptico.

¿Qué ocurriría con las mareas si la Luna estuviera dos veces más lejos?

La fuerza de marea es aproximadamente inversamente proporcional al cubo de la distancia ($\Delta F\propto 1/d^{3}$), de modo que duplicar $d$ reduciría la fuerza de marea a $1/2^{3}=1/8$ del valor actual; las mareas serían cerca de ocho veces menos intensas, y el período orbital de la Luna, por la tercera ley de Kepler, aumentaría significadamente.

Temas y conceptos clave

Campo gravitacionalLey de la gravitación universalFuerza de marea y mareasLeyes de Newton de acción-reacciónComparación de fuerzas gravitatorias Tierra–Luna y Sol–TierraFuerza gravitatoria $F=G\frac{Mm}{r^{2}}$Campo gravitatorio $g=\frac{GM}{r^{2}}$Fuerza de marea (gradiente del campo gravitatorio)Acción y reacciónDistancia Tierra–Luna $3{,}844\times10^{8}$ mDistancia Sol–Tierra $1{,}496\times10^{11}$ m

Fuentes y referencias

Newton, I., Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687) — ley de la gravitación universal.
Kepler, J., Astronomia nova (1609) y Harmonices mundi (1619) — leyes del movimiento planetario.
Datos planetarios: NASA Planetary Fact Sheet (masas, radios y distancias medias).

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Preguntas que la gente también hace

¿Por qué las mareas se originan en la diferencia de la fuerza gravitatoria de la Luna?

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¿Qué relación existe entre la distancia y la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos?

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¿Por qué el Sol atrae a la Tierra con una fuerza mucho mayor que la Luna?

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📌 Antes de leer esto

• Ley de la gravitación universal $F=G\frac{Mm}{r^2}$
• Tercera ley de Newton (acción y reacción)
• Tercera ley de Kepler ($T^2\propto a^3$)
• Distancia media Tierra–Luna y Sol–Tierra
• Masas de la Tierra, la Luna y el Sol

Siguiente tema sugerido

Leyes de Kepler: leyes del movimiento planetario y su derivación a partir de la gravitación universal

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 616 caracteres

a) Con base en la teoría del campo gravitacional y las leyes de Kepler, establezco, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera (V) o falas (F)?

i) La fuerza que la Luna ejerce sobre una porción de masa del océano de la superficie de la Tierra es la misma, tanto en su punto más cercano a la Luna como en su punto más alejado de esta.

( )

Justificación:

( >)

XY J ii) Las mareas se asocian con la atracción que la Tierra ejerce sobre la Luna. ( ) Justificación: a a y iii) La Tierra atrae a la Luna con la misma fuerza que la ejercida por el Sol sobre la Tierra ( ) Justificación:

Texto de Física \ 597

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