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Olimpiadas matemáticas

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$67{,}5^\circ$ .
$18$ respuestas correctas.
$2\sqrt{2}-1$ unidades.
$2$ puntos.
$80\%$ .
$33$ alumnos.
$12$ chicos.
$44$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 126

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución de los ejercicios

Ejercicio 1

Ángulo del trapecio

Como $AD\parallel BC$ , los ángulos interiores consecutivos formados por la transversal $DC$ son suplementarios:

$3x+5x=180^\circ$

$8x=180^\circ\quad\Rightarrow\quad x=22{,}5^\circ$

El ángulo $ADC$ mide:

$3x=3(22{,}5^\circ)=67{,}5^\circ$

Ejercicio 2

Respuestas correctas

Sea $i$ el número de respuestas incorrectas. Como las correctas son $50\%$ más que las incorrectas:

$c=1{,}5i$

Además, $c+i=30$ :

$1{,}5i+i=30$

$2{,}5i=30\quad\Rightarrow\quad i=12$

Por tanto:

$c=30-12=18$

Ejercicio 3

Distancia entre las circunferencias

Cada circunferencia está inscrita en un cuadrado de lado $1$ , por lo que su radio es $\frac{1}{2}$ . Los centros están en los cuadrados superior izquierdo e inferior derecho. La separación horizontal y vertical entre los centros es $2$ en cada dirección.

La distancia entre los centros es:

$d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

La distancia mínima entre las circunferencias se obtiene restando los dos radios:

$d_{\min}=2\sqrt{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=2\sqrt{2}-1$

Ejercicio 4

Dados apilados

En la figura, la cara superior del dado de arriba muestra $5$ puntos. En un dado común, las caras opuestas suman $7$ ; por ello, la cara inferior de ese dado muestra $2$ puntos.

La cara superior del dado del medio debe mostrar $2$ puntos y su cara inferior, $5$ . Entonces, la cara superior del dado inferior muestra $5$ y su cara inferior muestra $2$ .

Ejercicio 5

Porcentaje de agua

Beber medio litro disminuye la cantidad de limonada, pero no cambia la proporción de agua en la mezcla. Por ello, la limonada restante continúa teniendo el $80\%$ de agua.

Ejercicio 6

Alumnos que van al museo

Las tres estudiantes forman una fila de tres. Esa fila es la séptima desde el inicio y la quinta desde el final. El número total de filas es:

$7+5-1=11$

Como cada fila tiene tres alumnos:

$11\times3=33$

Ejercicio 7

Chicos y chicas

Sea $b$ el número de chicos y $g$ el número de chicas. Se cumple:

$b+g=20$

Un tercio de los chicos se sienta con una chica y la mitad de las chicas se sienta con un chico. El número de parejas mixtas es el mismo, así que:

$\frac{b}{3}=\frac{g}{2}$

De aquí:

$2b=3g$

La pareja de valores que suma $20$ es $b=12$ y $g=8$ .

Ejercicio 8

Enteros positivos

Los dos menores pueden ser $2$ y $8$ , pues:

$2\times8=16$

Los dos mayores deben ser $9$ y $25$ , pues:

$9\times25=225$

Por tanto, los enteros son $2$ , $8$ , $9$ y $25$ , y su suma es:

$2+8+9+25=44$

Contenido de la página

Olimpiadas matemáticas

La página contiene ocho problemas de razonamiento. Se aplican propiedades de ángulos en trapecios, porcentajes, distancias entre circunferencias, relaciones entre caras opuestas de dados, conteo de personas y análisis de números enteros positivos.

Fórmulas y ecuaciones

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$\text{distancia mínima}=\text{distancia entre centros}-r_1-r_2$

$\text{total de filas}=\text{posición desde el inicio}+\text{posición desde el final}-1$

$3x+5x=180^\circ$

$c=1{,}5i$

$d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

$d_{\min}=2\sqrt{2}-1$

$b+g=20$

$\frac{b}{3}=\frac{g}{2}$

Glosario (5)

Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuya suma es igual a $180^\circ$.
Circunferencia inscrita: Circunferencia que está dentro de una figura y toca sus lados.
Radio: Segmento que une el centro de una circunferencia con cualquier punto de ella.
Proporción: Igualdad entre dos razones.
Enteros positivos: Números naturales mayores que cero.

Preguntas para practicar

Explica por qué los ángulos consecutivos de un trapecio con bases paralelas suman $180^\circ$.

Describe una estrategia para resolver problemas de conteo por posiciones.

¿Por qué beber parte de una mezcla no modifica su porcentaje si la mezcla es homogénea?

Temas y conceptos clave

Geometría del trapecioPorcentajesCircunferenciasDadosConteo de filasProporcionalidadNúmeros enterosÁngulos suplementariosPorcentaje como razónDistancia entre centrosRadio de una circunferencia inscritaCaras opuestas de un dadoConteo por posicionesProporcionesProductos de enteros

Fuentes y referencias

https://www.canguromat.org.es

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Figuras de la página (2)

Cuadrícula de $3\times3$ cuadrados con dos circunferencias inscritas en cuadrados opuestos. — Figura 2 image

Tres dados apilados verticalmente sobre una mesa; la cara superior del dado superior muestra cinco puntos. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calculan los ángulos consecutivos de un trapecio?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo resolver problemas de porcentajes y proporciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo hallar la distancia mínima entre dos circunferencias?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Suma de ángulos suplementarios
• Resolución de ecuaciones lineales
• Cálculo de porcentajes
• Teorema de Pitágoras
• Operaciones con números enteros
• Razonamiento proporcional

Siguiente tema sugerido

Resolución de problemas de razonamiento matemático y estrategias de olimpiada

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Olimpiadas matemáticas

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La siguiente figura es un trapecio con los lados AD y BC paralelos. ¿Cuál es la medida en grados 3x A del ángulo ADC?

Argumenta la solución: is X Respuesta: (E B

Un test consta de 30 preguntas (las posibles respuestas son verdadera o falsa). Rosa tiene 50 % más de res- puestas correctas que incorrectas. ¿Cuántas respuestas correctas tiene, si contestó a todas las preguntas?

Argumenta la solución:

Respuesta:

La tabla 3 x 3, de la figura, está formada por 9 cuadrados de lado 1 y en dos de ellos (los que se

ven en la figura) se han dibujado sendas circunfe-

rencias. ¿Cuál es la mínima distancia entre las dos circunferencias?

Argumenta la solución: Respuesta:

Recuperado de: https://www.canguromat.org.es

Tres dados idénticos se colocan, como muestra la figura, encima de una mesa. La cara inferior de cada dado marca los mismos puntos que la superior del dado que está debajo. ¿Cuántos puntos marca la cara del dado que se apoya sobre la mesa?

Un litro de limonada contiene el 80 % de agua. ¿Qué porcentaje de agua con- tendrá la limonada, si alguien se bebe medio litro?

Cuando los alumnos van de la escuela al museo, lo hacen en filas de tres. María, Pepi y Rosa observan que son las séptimas contando desde el principio y las quintas contando desde el final. ¿Cuántos alumnos van al museo?

Hay 20 estudiantes en una clase. Se sientan en parejas tales que exactamente un tercio de los chicos se sientan con una chica y exactamente la mitad de las chicas se sientan con un chico. ¿Cuántos chicos hay en la clase?

En una pizarra se escriben varios enteros positivos distintos. El producto de los dos menores es 16. El pro- ducto de los dos mayores es 225. ¿Cuál es la suma de todos los enteros?

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