Midiendo distancias y alturas

En el triángulo RST, se conocen la hipotenusa TS=5\ \text{km} y el cateto RS=4\ \text{km}. Entonces:

RT=\sqrt{TS^2-RS^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\ \text{km}

Como QP=4,5\ \text{km} y RT=3\ \text{km}, la diferencia de alturas entre P y T es:

4,5-3=1,5\ \text{km}

En el triángulo formado por P, T y R:

PT=\sqrt{QR^2+(QP-RT)^2}=\sqrt{2^2+1,5^2}=\sqrt{6,25}=2,5\ \text{km}

Por tanto, el trayecto QPT mide:

QP+PT=4,5+2,5=7\ \text{km}

El trayecto QRST mide:

QR+RS+ST=2+4+5=11\ \text{km}

Por lo tanto, el trayecto más corto es QPT.

En la segunda figura, QP=6\ \text{km}, QR=4\ \text{km}, RS=2\ \text{km} y TS=2,82\ \text{km}. Primero calculamos RT:

RT=\sqrt{TS^2-RS^2}=\sqrt{2,82^2-2^2}\approx\sqrt{3,9524}\approx1,99\ \text{km}

La diferencia de alturas entre P y T es aproximadamente:

QP-RT\approx6-1,99=4,01\ \text{km}

Así, la distancia PT es:

PT=\sqrt{4^2+4,01^2}\approx5,66\ \text{km}

El trayecto QPT mide aproximadamente:

QP+PT\approx6+5,66=11,66\ \text{km}

El trayecto QRST mide:

QR+RS+ST=4+2+2,82=8,82\ \text{km}

En este caso, el trayecto más corto es QRST.

La sombra total de la torre mide:

2,2+1,8=4\ \text{m}

El segmento inclinado desde la parte superior del poste hasta el extremo de la sombra mide 5\ \text{m}, y la parte horizontal correspondiente mide 1,8\ \text{m}. Si h es la altura del poste:

h=\sqrt{5^2-1,8^2}=\sqrt{21,76}\approx4,67\ \text{m}

Como los triángulos formados por la torre y el poste son semejantes:

\frac{H}{4}=\frac{4,67}{1,8}

Por tanto, la altura de la torre es:

H=\frac{4\times4,67}{1,8}\approx10,37\ \text{m}