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Factorización de polinomios y aplicaciones

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

5b) $V=(x+4)^2(2x-4)$ .

a) $2x^2(x^2+2)$ ; b) $(x-2)(x+2)(x^2+4)$ ; c) $(x+3)^2$ ; d) $(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$ ; e) $(x^2-3)(x^2+1)$ ; f) $x^2(x-2)(x+2)$ ; g) $x(x^2+10)^2$ ; h) $3x(x^2-3)^2$ ; i) $2x(x-5)(x+5)$ ; j) $2x(x-2)(x+2)(x^2+4)$ ; k) $(2x-7)(x+4)$ ; l) $(x-3)(y-2)$ ; m) $(x-3)^2$ ; n) $(1-3a)(x+y^2)$ ; o) $(a+b)(c+d)$ ; p) $(3b-5c)(b-2c)$ ; q) $(m-8)^2$ ; r) $(m-2)(m+2)$ ; s) $(4x-3y)(4x+3y)$ ; t) $(x+3)(x+4)$ ; u) $(x+2)(x-1)$ ; v) $(3x+2)(2x+5)$ ; w) $(3x+2)(5x+3)$ .
a) $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ ; b) $(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)$ ; c) $(3x^2+y^2)^2$ ; d) $(5a^2+3ab+b^2)(5a^2-3ab+b^2)$ ; e) $(4x^2+4xy+3y^2)(4x^2-4xy+3y^2)$ ; f) $(3x^2+3xy-2y^2)(3x^2-3xy-2y^2)$ ; g) $(3a^2+2a+5)(3a^2-2a+5)$ ; h) $(x^2+1)(x^2+16)$ ; i) $(x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2)$ ; j) $(m^2-\frac{19+5\sqrt{13}}{2}n^2)(m^2-\frac{19-5\sqrt{13}}{2}n^2)$ ; k) $(p^2+2p+2)(p^2-2p+2)$ ; l) $(8x^2+4xy+y^2)(8x^2-4xy+y^2)$ .
a) $m-2$ ; b) $b+1$ ; c) $3m-n$ ; d) $m-8$ ; e) $6a-5$ ; f) $b+3$ ; g) $a^2+2$ ; h) $a^2-5$ ; i) $x^4-2x^2+4$ ; j) $a^4-a^2b+b^2$ .

9a) $13$ . 9b) $(x+a)(x+b)$ . 10) Ejemplo: $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 19

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 5

b

El volumen de una caja es el producto del área de la base por la altura. Como la base es cuadrada y cada lado mide $x+4$ , su área es $(x+4)^2$ . Por tanto, $V=(x+4)^2(2x-4)$ .

Ejercicio 6

Se aplican factor común, diferencia de cuadrados, trinomios y agrupación de términos.

Ejercicio 7

Se emplean productos notables, diferencia de cuadrados y factorización de trinomios cuadráticos en una variable.

Ejercicio 8

Se identifica el factor que, multiplicado por el factor dado, reproduce la expresión original.

Ejercicio 9

a

Sea $n$ el número. La condición se expresa como $(n+12)(n-5)=n^2+31$ . Al desarrollar: $n^2+7n-60=n^2+31$ , de donde $7n=91$ y $n=13$ .

Ejercicio 9

b

El área total es $bx+ab+x^2+ax$ . Al agrupar: $x(b+x)+a(b+x)=(x+a)(x+b)$ .

Ejercicio 10

El método de las aspas busca dos números que multipliquen el término independiente y sumen el coeficiente del término lineal. Por ejemplo, $x^2+5x+6$ : los números $2$ y $3$ multiplican $6$ y suman $5$ ; por eso $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ . Para $ax^2+bx+c$ se buscan factores de $a$ y de $c$ cuyos productos cruzados sumen $b$ .

Contenido de la página

Ideas principales

Para factorizar completamente se extraen primero los factores comunes.
La diferencia de cuadrados cumple $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ .
La suma de cubos cumple $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$ .
El volumen de un prisma rectangular se obtiene multiplicando el área de la base por la altura.
El método de las aspas permite factorizar trinomios.

Ejemplos resueltos

Factoriza $x^2+5x+6$ mediante el método de las aspas.

Se buscan dos números cuyo producto sea $6$ y cuya suma sea $5$ : $2$ y $3$ . Entonces $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ .

Calcula el volumen de una caja cuya base cuadrada tiene lado $x+4$ y altura $2x-4$ .

El área de la base es $(x+4)^2$ . Por tanto, $V=(x+4)^2(2x-4)$ .

Fórmulas y ecuaciones

$V=\text{área de la base}\times\text{altura}$

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

$A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$

$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$

$V=(x+4)^2(2x-4)$

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

$A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$

$(n+12)(n-5)=n^2+31$

Glosario (5)

Factorizar: Escribir una expresión algebraica como producto de factores.
Factor común: Término que divide exactamente a todos los términos de una expresión.
Diferencia de cuadrados: Expresión de la forma $A^2-B^2$, que se factoriza como $(A-B)(A+B)$.
Trinomio: Polinomio formado por tres términos.
Volumen: Medida del espacio que ocupa un cuerpo.

Preguntas para practicar

¿Qué diferencia existe entre factor común y agrupación de términos?

¿Por qué $p^4+4$ puede factorizarse usando la identidad de Sophie Germain?

¿Cómo se verifica una factorización?

Temas y conceptos clave

Factorización completaProductos notablesVolumen de una cajaMétodo de las aspasFactor comúnAgrupación de términosTrinomio cuadrado perfectoDiferencia de cuadradosSuma de cubosSuma de cuadrados

Fuentes y referencias

Libro: egb-10-matematica-2025, página 19

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se factoriza un polinomio completamente?

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¿Cómo se aplica el método de las aspas?

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¿Cómo se calcula el volumen de una caja de base cuadrada?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con polinomios
• Propiedad distributiva
• Productos notables
• Resolución de ecuaciones lineales
• Diferencia de cuadrados

Siguiente tema sugerido

Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1640 caracteres

b) ¿Cuál es la expresión algebraica del volumen E d) 25a*+ a’b? + b*= de una caja de base cuadrangular, cuya longi- : 16x! + 8x22 +9/= tud de la base es (x + 4) y de altura (2x- 4)? : e ión

f) x-21xY4+4y= g) 9at+ 260? + 25 =

oh) 41704 16= a) | Sp i) MoT ty

(+4) ij) m- 19m + 9n* = E k) pi+4= 6. Factoriza cada expresión completamente. Para : I) 64x 4y'=

ello, utiliza las propiedades de los números reales. :

a) 2x*+4x?= : 8. Completa cada expresión con el factor que falta b) x*-16 i para que la factorización sea correcta. a) (m-2?-(m-2)= (m-3)

sc Naga 1 eb) 2ab2a=b=1= (aan) |

4 2 a : E : ©) 81m*- n4= (9m? +n?)(3m +n) | d) m-1m+24= (m-3) |

e) 24a2-38a+15= (4a-3) |

e) x‘ -2x?-3 =

f) x*-4x? =

g) Xx + 20x? + 100x = d f) b3+27= (b?-3b+9) | h) 3x° - 18x? + 27x = : g) at-5a?-14=(a?-7) | i) 2x’ - 50x = ih) 8at-370?-15= (Ba?-+ 3)

j) 2x° - 32x = i i) 84 = 24)