En el negocio propuesto, ¿cuánto se debe entregar el día 30 y conviene aceptar el negocio?

2^29=536 870 912; no conviene aceptar el negocio

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Números reales con exponentes enteros

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Respuesta rápida

La operación es la potenciación. Ejemplo: $4\times4\times4=4^3=64$ .
El pago del día 30 es $536\,870\,912$ y el total pagado sería $1\,073\,741\,823$ ; por eso, no conviene aceptar el negocio.

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 20

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución y explicación

Ejercicio 1

Producto de factores iguales

La operación que se utiliza para indicar el producto de factores iguales es la potenciación.

Por ejemplo:

$3\times 3\times 3\times 3=3^4=81$

En $3^4$ , el número $3$ es la base y el número $4$ es el exponente. El exponente indica cuántas veces se repite la base como factor.

En general, si $a$ es un número real y $n$ es un entero positivo:

$a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ veces}}$

Ejercicio 2

Exponentes cero y negativos

Para $a\neq 0$ y $n$ entero positivo se cumple lo siguiente:

$a^0=1$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

$a^1=a$

Por ejemplo:

$5^0=1,\qquad 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

Ejercicio 3

Análisis del negocio

Durante 30 días se reciben $\$ 1000 diarios:

$30\times 1000=30\,000$

El dinero que se debe entregar diariamente sigue la sucesión:

$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ldots$

El pago del día $30$ es:

$2^{29}=536\,870\,912$

Además, la suma de todos los pagos de los 30 días es:

$1+2+2^2+\cdots+2^{29}=2^{30}-1=1\,073\,741\,823$

Como $1\,073\,741\,823>30\,000$ , no conviene aceptar el negocio.

Ejercicio 4

Propiedades de la potenciación

Producto de potencias de igual base:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Cociente de potencias de igual base, con $a\neq 0$ :

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Potencia de una potencia:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Producto de potencias con igual exponente:

$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$

Cociente de potencias con igual exponente, con $b\neq 0$ :

$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$

Contenido de la página

Definición de potencia

Una potencia representa un producto de factores iguales. La base es el factor que se repite y el exponente indica cuántas veces se repite.

$a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ veces}}$

Exponentes cero y negativos

Para $a\neq0$ :

$a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a^1=a$

Propiedades

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$

$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$

$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$

Aplicación

En un negocio donde el pago diario se duplica, el pago del día 30 es $2^{29}=536\,870\,912$ . La suma de los pagos supera ampliamente los $30\,000$ recibidos.

Ejemplos resueltos

Expresa como potencia el producto $5\times5\times5\times5$ .

La base es $5$ y se repite cuatro veces; por tanto, $5\times5\times5\times5=5^4=625$ .

Compara los $30\,000$ recibidos con el total que se debe pagar en el negocio de pagos duplicados durante 30 días.

El total pagado es $2^{30}-1=1\,073\,741\,823$ . Como este valor es mayor que $30\,000$ , el negocio no conviene.

Tabla

Día	Expresión	Dinero
1	$2^0$	$1$
2	$2^1$	$2$
3	$2^2$	$4$
4	$2^3$	$8$
30	$2^{29}$	$536\,870\,912$

Fórmulas y ecuaciones

Producto de potencias de igual base: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Cociente de potencias de igual base: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Potencia de una potencia: $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Producto de potencias con igual exponente: $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$

Cociente de potencias con igual exponente: $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$

$a^n=@@MATH_0@@_{n$ $\text{ veces}$ }

$a^0=1$

$a^{-n}=$ $\frac{1}{a^n}$

$2^{29}=536\,870\,912$

$1+2+2^2+\cdots+2^{29}=2^{30}-1$

Glosario (4)

Base: Número que se repite como factor en una potencia.
Exponente: Número que indica cuántas veces se repite la base.
Potencia: Producto de varios factores iguales entre sí.
Exponente negativo: Exponente que transforma una potencia en el recíproco de la potencia con exponente positivo.

Preguntas para practicar

¿Por qué $a^0=1$ cuando $a\neq0$?

¿Qué ocurre con una potencia cuando su exponente es negativo?

¿En qué situaciones de la vida real aparece el crecimiento exponencial?

Temas y conceptos clave

Definición de potenciaExponentes cero y negativosPropiedades de la potenciaciónCrecimiento exponencialBaseExponentePotenciaExponente ceroExponente negativoProducto de potenciasCociente de potencias

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Recuerda. ¿Qué operación utilizas para indicar el producto de factores iguales? Escribe un ejemplo.

Recordemos que una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente. El factor que se repite se llama base y el número que indica las veces que se repite el factor es el exponente.

| Definición de potencia. El producto de varios factores iguales entre sí se | denomina potencia.

| a'=a; @ =axa; d'=axaxa; ..

| a ee a5

| En general, si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces

it | la n-ésima potencia de a es: d’=a xa x... x g uo | $\g$ nveces

Ahora vamos a analizar la potenciación de números reales con exponentes enteros.

Shutterstock, 284782904.

El conocimiento matemático es necesario para realizar

emprendimientos, Una persona te propone el siguiente negocio: “Cada día te entrego $ 1 000 durante 30 días. A cambio, tú me entregas el primer día $1, el segundo día$ 2, el tercero $4, el cuarto$ 8 y así sucesivamente. .. es decir, cada día el doble de dinero del día

Uso de la anterior, hasta el día 30. ¿Aceptarías el negocio?”

calculadora Resolvamos el problema planteado:

Algunas calculadoras Si cada día se te entregan $1 000, en un mes de 30 días tendrás$ 30 000. traen implementada en su teclado la operación de potenciación, su

Ahora veamos cuánto debes entregar el día 30 al negociante. Observa la tabla.

símbolo es x’. En el A a e ae 4 29 caso del problema en potenie’a z : a 2 = : planteado, digitas: Dinero ($) 1 2 4 8 a 536 870 912

| 2 INV || 29 (=) Por lo tanto, no conviene el negocio. — Nf h 2

| A Exponentes cero y negativo 536870912.

Sia 0 es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces: Ve a

a@=1;a#0;.a°=

Propiedades de la potenciacion

Propiedad Notación

Producto de potencias de la misma base Va ER; mynEeZz a™-a"=a"*"

Cociente de potencias con la misma base Va ER; mynEZ a™+a"=a"" Potencia de una potencia Va ER; myn€eZz (a")’=a"" Producto de potencias con el mismo exponente Vab ER; nEZ (a”:b”)=(a:by Cociente de potencias con el mismo exponente Vab ER; n€Z (a"+b")=(a+b)"

Archivo Editorial

P| M.4.1.34, Aplicar las potencias de números reales con exponentes enteros para la notación científica.

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