Olimpiadas matemáticas

Resolución de los ejercicios

Cada lado del triángulo mide 1+3+1=5 unidades. En cada vértice queda un triángulo pequeño semejante al original, cuya razón de semejanza es \frac{1}{5}. Por tanto, el área de cada triángulo pequeño representa \left(\frac{1}{5}\right)^2=\frac{1}{25} del área total.

Hay tres triángulos pequeños sin sombrear:

\frac{3}{25}

La parte sombreada representa:

1-\frac{3}{25}=\frac{22}{25}=0,88

Como porcentaje:

0,88\times 100\%=88\%

Partimos de:

\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=1

Sumamos las fracciones:

\frac{1+b+1+a}{(1+a)(1+b)}=1

Entonces:

\frac{a+b+2}{ab+a+b+1}=1

Igualando numerador y denominador:

a+b+2=ab+a+b+1

Al simplificar:

ab=1

El primer rectángulo tiene altura:

70-28=42

Su base mide x, así que su área es 42x.

El segundo rectángulo tiene altura:

28-12=16

Su base mide 174-x, por lo que su área es 16(174-x).

Como las áreas son iguales:

42x=16(174-x)

42x=2784-16x

58x=2784

x=48

Por cada 2 asientos ocupados hay 1 asiento vacío. En total, cada grupo tiene 3 asientos.

108\div 3=36

Hay 36 grupos y cada grupo contiene 2 pasajeros:

36\times 2=72

Convertimos todo a centímetros:

9641\text{ m}=964100\text{ cm}

3456\text{ dm}=34560\text{ cm}

12340\text{ mm}=1234\text{ cm}

La distancia recorrida es:

964100+34560+1234=999894\text{ cm}

Diez kilómetros equivalen a:

10\text{ km}=1000000\text{ cm}

La distancia faltante es:

1000000-999894=106\text{ cm}

La anchura del primer campo es:

\frac{3200}{80}=40\text{ m}

El nuevo campo tiene la mitad del área y la mitad de la anchura:

A_2=\frac{3200}{2}=1600\text{ m}^2

a_2=\frac{40}{2}=20\text{ m}

Su longitud es:

\ell_2=\frac{1600}{20}=80\text{ m}

Los niños y niñas representan \frac{1}{8} de los invitados, así que los adultos representan:

1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}

Si \frac{3}{7} de los adultos son hombres, entonces \frac{4}{7} son mujeres. Por tanto, la fracción de mujeres adultas es:

\frac{4}{7}\times\frac{7}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}

Sean los enteros n-1, n y n+1. Se cumple:

(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=770

Desarrollando:

3n^2+2=770

3n^2=768

n^2=256

Por tanto, n=16 o n=-16.

Si se consideran enteros positivos, los números son 15, 16 y 17, y el mayor es 17. Si se admiten también enteros negativos, existe otra solución: -17, -16 y -15, cuyo mayor es -15.

Respuesta esperada: 17, suponiendo que se trata de enteros positivos. En sentido estricto, con enteros positivos y negativos, el enunciado tiene dos posibles respuestas.

Considerando que domingo y lunes también son días consecutivos, las selecciones posibles de tres días sin días consecutivos son:

• lunes, miércoles, viernes;
• lunes, miércoles, sábado;
• lunes, miércoles, domingo;
• lunes, jueves, sábado;
• martes, jueves, sábado;
• martes, jueves, domingo;
• martes, viernes, domingo.

Por lo tanto, hay 7 formas.