Construyendo con triángulos

Situación cotidiana

En el triángulo equilátero ABC, se cumple AB=BC y los ángulos de la base son iguales. Como CD=AE, se comparan los triángulos AEC y CDB:

• AE=CD por dato.
• AC=CB porque ABC es equilátero.
• \angle EAC=\angle DCB porque corresponden a los ángulos de la base del triángulo equilátero.

Por el criterio LAL, \triangle AEC\cong\triangle CDB. Por lo tanto, EC=BD=11.

Como EF=6 y EC=EF+FC:

FC=EC-EF=11-6=5

Reflexión

Los postulados de congruencia se utilizan al construir techos, puentes, estructuras metálicas, casas, monumentos y objetos que necesitan piezas con la misma forma y tamaño. Para comprobar una respuesta, se deben comparar los lados y ángulos correspondientes y verificar que cumplen un criterio de congruencia. Si la respuesta es incorrecta, se deben revisar los datos, la correspondencia de los vértices y las operaciones realizadas.

Los triángulos congruentes de la situación son \triangle AEC y \triangle CDB, según el criterio LAL.

Refuerzo del techo

Sea X el punto donde la segunda varilla interior corta a AC. Los ángulos marcados permiten comparar \triangle ABE y \triangle XBC:

• AB=BC porque son lados del triángulo isósceles exterior.
• \angle BAE=\angle XCB por las marcas de la figura.
• \angle ABE=\angle XBC=\alpha por las marcas de los ángulos.

Por el criterio ALA, \triangle ABE\cong\triangle XBC. Entonces:

BX=BE=9

El ángulo central EBX mide 60^\circ. Como BE=BX, el triángulo EBX es isósceles y sus ángulos de la base también miden 60^\circ; por tanto, es equilátero y:

EX=BE=9

Además, por la congruencia, XC=AE=4. Así:

EC=EX+XC=9+4=13

Banderines triangulares

Como el triángulo ABE es equilátero, sus ángulos miden 60^\circ y AB=BE. Al dividir la base AE en tres partes iguales:

AC=CD=DE

Se comparan \triangle ABC y \triangle EBD:

• AB=BE porque el triángulo grande es equilátero.
• AC=DE porque la base fue dividida en tres partes iguales.
• \angle BAC=\angle BED=60^\circ.

Por el criterio LAL, \triangle ABC\cong\triangle EBD. Por lo tanto, Martina sí obtiene dos triángulos iguales.