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Solución de una ecuación de segundo grado

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Respuesta rápida

La ecuación cuadrática puede tener hasta dos soluciones reales. En el ejemplo, las soluciones son $x=2$ y $x=-6$ ; se acepta $x=2$ . El área del jardín es $4\ \text{m}^{2}$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 180

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Idea principal

Una ecuación cuadrática o de segundo grado tiene la forma $ax^{2}+bx+c=0$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales y $a\neq 0$ . El término $ax^{2}$ es cuadrático, $bx$ es lineal y $c$ es independiente.

Una ecuación cuadrática puede tener hasta dos soluciones reales. Gráficamente, estas soluciones corresponden a los puntos donde la parábola corta al eje $x$ .

Ejemplo del jardín

Sea $x$ la longitud del lado del jardín cuadrado.

Área del jardín: $x^{2}$ .
Costo del césped: $4x^{2}$ .
Perímetro del jardín: $4x$ .
Costo del cerco de cipreses: $4(4x)=16x$ .

Como el costo total es de $48$ dólares:

$4x^{2}+16x=48$

Llevamos todos los términos al mismo miembro:

$4x^{2}+16x-48=0$

Para ubicar el vértice de la parábola, identificamos $a=4$ y $b=16$ :

$h=-\frac{b}{2a}=-\frac{16}{2(4)}=-2$

Luego:

$k=f(-2)=4(-2)^{2}+16(-2)-48=-64$

Por tanto, el vértice es $V(-2,-64)$ .

Al graficar la parábola, sus intersecciones con el eje $x$ son $A(2,0)$ y $B(-6,0)$ . Por ello, las soluciones de la ecuación son:

$x=2 \quad \text{y} \quad x=-6$

Como se trata de una longitud, se descarta $x=-6$ , porque una medida no puede ser negativa. El lado del jardín mide $2$ metros y su área es:

$A=x^{2}=2^{2}=4\ \text{m}^{2}$

Contenido de la página

Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática o de segundo grado se expresa como $ax^{2}+bx+c=0$ , con $a\neq 0$ .

$ax^{2}$ : término cuadrático.
$bx$ : término lineal.
$c$ : término independiente.

Método gráfico

Para resolver una ecuación cuadrática se representa la función correspondiente mediante una parábola. Las soluciones reales son las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje $x$ .

Aplicación

En el problema del jardín, el costo del césped es $4x^{2}$ y el costo del cerco es $16x$ . La ecuación es $4x^{2}+16x=48$ , o equivalentemente $4x^{2}+16x-48=0$ .

La parábola tiene vértice $V(-2,-64)$ y corta al eje $x$ en $(-6,0)$ y $(2,0)$ . La solución válida para la longitud del jardín es $x=2$ , por lo que el área es $4\ \text{m}^{2}$ .

Ejemplos resueltos

En un conjunto residencial se construye un jardín cuadrado. El césped cuesta $4$ dólares por metro cuadrado y el cerco cuesta $4$ dólares por metro lineal. Si el costo total es de $48$ dólares, determina el área del jardín mediante el método gráfico.

Si $x$ es el lado del jardín, el costo total se modela con $4x^{2}+16x=48$ . Al escribirla como $4x^{2}+16x-48=0$ y graficarla, se obtienen los ceros $x=2$ y $x=-6$ . Se descarta $x=-6$ por ser una longitud negativa. Entonces $x=2$ y el área es $A=2^{2}=4\ \text{m}^{2}$ .

Tabla

$x$	$y$
$6$	$0$
$-2$	$-64$
$0$	$-48$
$1$	$-28$
$2$	$0$

Fórmulas y ecuaciones

$A=x^{2}$

$P=4x$

$h=-\frac{b}{2a}$

$A=x^{2}=2^{2}=4\ \text{m}^{2}$

$ax^{2}+bx+c=0$

$4x^{2}+16x=48$

$4x^{2}+16x-48=0$

h=- $\frac{b}{2a}$

$k=f(-2)=4(-2)^{2}+16(-2)-48=-64$

Glosario (5)

Ecuación cuadrática: Ecuación polinómica de segundo grado que puede escribirse como $ax^{2}+bx+c=0$, con $a\neq 0$.
Parábola: Gráfica de una función cuadrática.
Vértice: Punto máximo o mínimo de una parábola.
Solución: Valor de la incógnita que hace verdadera una ecuación.
Coeficiente: Número que multiplica a una variable o acompaña a un término algebraico.

Preguntas para practicar

¿Por qué se descarta la solución negativa en el problema del jardín?

¿Qué significado tienen los puntos de corte de la parábola con el eje $x$?

Temas y conceptos clave

Ecuaciones cuadráticasTérminos de una ecuación cuadráticaMétodo gráficoVértice de una parábolaSoluciones como cortes con el eje xUna ecuación cuadrática tiene la forma $ax^{2}+bx+c=0$.El coeficiente $a$ debe ser distinto de cero.Las soluciones reales son los puntos de corte de la parábola con el eje $x$.Una ecuación cuadrática puede tener hasta dos soluciones reales.En un problema geométrico se deben descartar valores que no tengan sentido, como longitudes negativas.

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Figuras de la página (1)

Gráfica de una parábola que corta el eje x en $(-6,0)$ y $(2,0)$, con vértice aproximado en $(-2,-64)$. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación cuadrática?

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¿Cómo se encuentra el vértice de una parábola?

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¿Qué representan los cortes de una parábola con el eje x?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer términos algebraicos
• Resolver ecuaciones sencillas
• Calcular potencias y productos
• Interpretar puntos en el plano cartesiano
• Conocer el área y el perímetro de un cuadrado

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¿Qué grado tiene una ecuación cuadrática?

Para resolver una ecuación cuadrática, existen varios métodos. Entre ellos, el método gráfico, por factorización o empleando la fórmula general.

Vamos a comenzar analizando la solución por el método gráfico.

En un conjunto residencial se construye un jardín cuadrado de césped, rodeado de un cerco de cipreses. El precio del metro cuadrado de césped es $ 4, y el metro lineal de cipreses $4. Si el costo del jardín es$ 48, ¿cuál es el área del terreno?

Shutterstock, 469419563.

Conjunto de cipreses. 7 . 4 = se ot ) Primero, debemos determinar la ecuación que modela la situación. Como el jardin

Competencia es un cuadrado, su área es: x2,

matemática

Entonces, el costo de la colocación del césped es 4x2. En una ecuación cuadrática:

ax’ + bx+c=0 La ecuación resultante: 4x? + 16x = 48,

El perímetro del jardin es 4x y el costo de la colocación de los cipreses es 16x.

ax? es el término

co | Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que se puede escribir

de la forma ax 2+ bx + c, donde:

bx es el término lineal. Ñ ‘ : ane a, b y c (llamados coeficientes) son números reales cualesquiera y a es distinto

| ces el término de cero. | independiente. Responde: ¿cuántos Método gráfico resultados puede tener una ecuación Resolver una ecuación cuadrática significa hallar los valores de la incógnita que cuadrática? hacen verdadera la igualdad. Graficamente, las soluciones reales de la ecuación corresponden a los puntos de corte de la parábola con el eje x. a ¿Sabías que? Resolviendo la ecuación 4x? + 16x = 48 que modela el problema planteado al inicio, tenemos que: Dependiendo de q los valores de las Primero: determinar el vértice (h, k) de la parábola. constantes b y c, b 16 las ecuaciones h=-—jh=-—jh=-2 k=f(-2)=4(-2) +16(-2)-48=-64 V(-2,-64) cuadráticas se clasifican 2a 8 i let , conus near Segundo: graficar la parabola.

Los puntos A (2, 0) y B (-6, 0) cortan al eje x. Es decir, las soluciones de la ecuación cuadrática son: x = 2 y x=-6.

A= (2,0)

Descartamos el valor negativo porque no satisface el problema, ya que el área no puede ser un valor negativo,

Solución

El terreno para el jardín tiene un área de 4m

M.4.1.58. Reconocer los ceros de la función cuadrática como la solución de la ecuación de segundo grado con una incógnita.

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