Determina si los puntos dados pertenecen a las funciones cuadráticas.

a) Sí; b) Sí; c) Sí; d) No; e) No; f) Sí; g) Sí

Grafica las funciones y determina dominio, recorrido, crecimiento, decrecimiento, máximo o mínimo, vértice y eje de simetría.

V_a=(0,3), V_b=≤ft(1/2,5/2), V_c=(2,-16), V_d=≤ft(9/4,225/8), V_e=(0,4), V_f=(-1,3), V_g=(0,-2), V_h=(-1,-2), V_i=(6,0)

Determina la concavidad y el punto máximo o mínimo de cada función.

a) (0,0); b) (0,1); c) (2,-3); d) (3,12); e) (1,7)

Determina el vértice y el eje de simetría de cada función cuadrática.

a) V=(2,3), x=2; b) V=≤ft(5/2,-17/4), x=5/2; c) V=(-3,-3), x=-3; d) V=≤ft(-5/2,-81/4), x=-5/2

Relaciona cada gráfica con su ecuación.

i)áfica iii; ii)áfica i; iii)áfica ii

Encuentra una función cuadrática para el área de una piscina rectangular de 10 m por 6 m rodeada por un camino de anchura constante.

A_total(x)=4x^2+32x+60, A_camino(x)=4x^2+32x, x≥0

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Propiedades y representación de funciones cuadráticas

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 179

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Respuesta rápida

a) Sí. b) Sí. c) Sí. d) No. e) No. f) Sí. g) Sí.
Vértices: a) $(0,3)$ ; b) $\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)$ ; c) $(2,-16)$ ; d) $\left(\frac{9}{4},\frac{225}{8}\right)$ ; e) $(0,4)$ ; f) $(-1,3)$ ; g) $(0,-2)$ ; h) $(-1,-2)$ ; i) $(6,0)$ .
a) Mínimo $(0,0)$ . b) Máximo $(0,1)$ . c) Mínimo $(2,-3)$ . d) Máximo $(3,12)$ . e) Mínimo $(1,7)$ .
a) $V=(2,3)$ , $x=2$ . b) $V=\left(\frac{5}{2},-\frac{17}{4}\right)$ , $x=\frac{5}{2}$ . c) $V=(-3,-3)$ , $x=-3$ . d) $V=\left(-\frac{5}{2},-\frac{81}{4}\right)$ , $x=-\frac{5}{2}$ .
i) Gráfica iii; ii) gráfica i; iii) gráfica ii.
Área total: $A(x)=4x^2+32x+60$ . Área del camino: $A_{camino}(x)=4x^2+32x$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 179

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 8

Pertenencia de puntos

Para verificar si un punto $P(x,y)$ pertenece a la función, se reemplaza el valor de $x$ y se comprueba si el resultado coincide con $y$ .

a) $f(2)=2^2-2(2)-3=-3$ . El punto sí pertenece.
b) $f(-3)=-2(-3)^2-3(-3)=-18+9=-9$ . El punto sí pertenece.
c) $f(4)=4^2-5(4)+3=16-20+3=-1$ . El punto sí pertenece.
d) $f(-3)=(-3)^2+3(-3)+15=15$ . Como $15\ne3$ , el punto no pertenece.
e) $f(-4)=-(-4)^2+2(-4)+10=-16-8+10=-14$ . Como $-14\ne-1$ , el punto no pertenece.
f) $f(1)=-3(1)^2+5(1)-6=-4$ . El punto sí pertenece.
g) $f(3)=(3-3)^2-11=-11$ . El punto sí pertenece.

Ejercicio 9

Propiedades de las funciones

En todas las funciones cuadráticas, el dominio es $\mathbb{R}$ . El eje de simetría se obtiene con $x=-\frac{b}{2a}$ .

a) $f(x)=x^2+3$ : abre hacia arriba; vértice $(0,3)$ ; recorrido $[3,\infty)$ ; decrece en $(-\infty,0)$ y crece en $(0,\infty)$ ; tiene mínimo $3$ ; eje $x=0$ .
b) $f(x)=2x^2-2x+3$ : abre hacia arriba; vértice $\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)$ ; recorrido $\left[\frac{5}{2},\infty\right)$ ; decrece en $\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)$ y crece en $\left(\frac{1}{2},\infty\right)$ ; tiene mínimo $\frac{5}{2}$ ; eje $x=\frac{1}{2}$ .
c) $f(x)=x^2-4x-12=(x-2)^2-16$ : abre hacia arriba; vértice $(2,-16)$ ; recorrido $[-16,\infty)$ ; decrece en $(-\infty,2)$ y crece en $(2,\infty)$ ; tiene mínimo $-16$ ; eje $x=2$ .
d) $t(x)=(-2x-3)(x-6)=-2x^2+9x+18$ : abre hacia abajo; vértice $\left(\frac{9}{4},\frac{225}{8}\right)$ ; recorrido $\left(-\infty,\frac{225}{8}\right]$ ; crece en $\left(-\infty,\frac{9}{4}\right)$ y decrece en $\left(\frac{9}{4},\infty\right)$ ; tiene máximo $\frac{225}{8}$ ; eje $x=\frac{9}{4}$ .
e) $r(x)=-9x^2+4$ : abre hacia abajo; vértice $(0,4)$ ; recorrido $(-\infty,4]$ ; crece en $(-\infty,0)$ y decrece en $(0,\infty)$ ; tiene máximo $4$ ; eje $x=0$ .
f) $f(x)=-(3x+1)^2+5x^2-2x=-4x^2-8x-1$ : abre hacia abajo; vértice $(-1,3)$ ; recorrido $(-\infty,3]$ ; crece en $(-\infty,-1)$ y decrece en $(-1,\infty)$ ; tiene máximo $3$ ; eje $x=-1$ .
g) $m(x)=x^2-2$ : abre hacia arriba; vértice $(0,-2)$ ; recorrido $[-2,\infty)$ ; decrece en $(-\infty,0)$ y crece en $(0,\infty)$ ; tiene mínimo $-2$ ; eje $x=0$ .
h) $n(x)=-3x^2-6x-5$ : abre hacia abajo; vértice $(-1,-2)$ ; recorrido $(-\infty,-2]$ ; crece en $(-\infty,-1)$ y decrece en $(-1,\infty)$ ; tiene máximo $-2$ ; eje $x=-1$ .
i) $f(x)=(x-6)^2$ : abre hacia arriba; vértice $(6,0)$ ; recorrido $[0,\infty)$ ; decrece en $(-\infty,6)$ y crece en $(6,\infty)$ ; tiene mínimo $0$ ; eje $x=6$ .

Ejercicio 10

Concavidad y extremos

El signo del coeficiente de $x^2$ determina la concavidad: si es positivo, la parábola abre hacia arriba y tiene mínimo; si es negativo, abre hacia abajo y tiene máximo.

a) $y=5x^2$ : concavidad hacia arriba; mínimo en $(0,0)$ ; no tiene máximo.
b) $y=-4x^2+1$ : concavidad hacia abajo; máximo en $(0,1)$ ; no tiene mínimo.
c) $y=x^2-4x+1$ : concavidad hacia arriba; mínimo en $(2,-3)$ ; no tiene máximo.
d) $y=-x^2+6x+3$ : concavidad hacia abajo; máximo en $(3,12)$ ; no tiene mínimo.
e) $y=x^2-2x+8$ : concavidad hacia arriba; mínimo en $(1,7)$ ; no tiene máximo.

Ejercicio 11

Vértice y eje de simetría

a) $y=(x-2)^2+3$ : vértice $(2,3)$ y eje $x=2$ .
b) $y=x^2-5x+2$ : $x_v=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$ y $y_v=-\frac{17}{4}$ ; vértice $\left(\frac{5}{2},-\frac{17}{4}\right)$ y eje $x=\frac{5}{2}$ .
c) $y=(x+3)^2-3$ : vértice $(-3,-3)$ y eje $x=-3$ .
d) $y=x^2+5x-14$ : $x_v=-\frac{5}{2}$ y $y_v=-\frac{81}{4}$ ; vértice $\left(-\frac{5}{2},-\frac{81}{4}\right)$ y eje $x=-\frac{5}{2}$ .

Ejercicio 12

Relación entre gráficas y ecuaciones

La primera gráfica tiene vértice $(0,2)$ , la segunda tiene vértice $(0,-2)$ y la tercera tiene vértice $(2,0)$ . Por tanto:

$y=(x-2)^2$ corresponde a la gráfica iii.
$y=x^2+2$ corresponde a la gráfica i.
$y=x^2-2$ corresponde a la gráfica ii.

Ejercicio 13

Modelo del área de la piscina y el camino

Sea $x$ la anchura constante del camino. Las dimensiones exteriores serán $10+2x$ metros de largo y $6+2x$ metros de ancho.

El área total de la piscina y el camino es:

$A(x)=(10+2x)(6+2x)=4x^2+32x+60.$

Como una anchura no puede ser negativa, el dominio es $x\ge0$ . Si se desea únicamente el área del camino, se resta el área de la piscina, que es $60\,\text{m}^2$ :

$A_{camino}(x)=4x^2+32x.$

Contenido de la página

La página desarrolla procedimientos para analizar funciones cuadráticas. Se estudia cómo comprobar si un punto pertenece a una función, cómo encontrar el vértice y el eje de simetría, cómo establecer la concavidad, el dominio, el recorrido y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Finalmente, se aplica una función cuadrática a una situación geométrica relacionada con el área de una piscina y un camino.

Ejemplos resueltos

Determinar el vértice de $y=x^2-4x-12$ .

Aquí $a=1$ y $b=-4$ . Entonces $x_v=-\frac{-4}{2(1)}=2$ . Al reemplazar, $y_v=2^2-4(2)-12=-16$ . Por tanto, el vértice es $(2,-16)$ .

Encontrar el área total de una piscina de $10$ m por $6$ m con un camino de anchura $x$ .

Las dimensiones exteriores son $10+2x$ y $6+2x$ . Así, $A(x)=(10+2x)(6+2x)=4x^2+32x+60$ .

Fórmulas y ecuaciones

$x_v=-\frac{b}{2a}$

$y_v=f(x_v)$

Si $a>0$ , la parábola tiene mínimo.

Si $a<0$ , la parábola tiene máximo.

$f(x)=ax^2+bx+c$

$x_v=-$ $\frac{b}{2a}$

$A(x)=(10+2x)(6+2x)=4x^2+32x+60$

Glosario (6)

Parábola: Gráfica de una función cuadrática.
Vértice: Punto máximo o mínimo de una parábola.
Eje de simetría: Recta vertical que divide la parábola en dos partes iguales.
Concavidad: Orientación de la abertura de la parábola; puede ser hacia arriba o hacia abajo.
Dominio: Conjunto de valores permitidos para la variable independiente.
Recorrido: Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

Preguntas para practicar

¿Por qué el signo del coeficiente cuadrático determina si existe un máximo o un mínimo?

¿Cómo cambia el área del camino cuando aumenta su anchura?

¿Qué diferencias existen entre la forma general y la forma de vértice de una función cuadrática?

Temas y conceptos clave

Pertenencia de puntos a una funciónPropiedades de funciones cuadráticasConcavidad y extremosVértice y eje de simetríaRelación entre ecuaciones y gráficasModelación de áreasFunción cuadráticaParábolaVérticeEje de simetríaConcavidadMáximoMínimoDominioRecorrido

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Figuras de la página (2)

Enunciado contextual sobre una piscina rectangular de $10$ m por $6$ m y un camino de anchura constante. — Figura 2 image

Figura 3 de Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025 — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el vértice de una función cuadrática?

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¿Cómo determinar si una parábola tiene máximo o mínimo?

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¿Cómo hallar el área de un camino alrededor de un rectángulo?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números enteros y fracciones
• Evaluación de expresiones algebraicas
• Productos notables
• Completación de cuadrados
• Interpretación de gráficas en el plano cartesiano

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Ecuaciones cuadráticas y aplicaciones de la parábola

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1710 caracteres

Determina si los siguientes puntos pertenecen a : la función cuadrática dada. Para ello, reemplaza :

las coordenadas del punto en la función.

a) f(x)=x?-2x-3 P(2,-3) b) F(x) =-2x? -3x P(-3,-9) ©) f(x)=x?-5x43 P(4,-1) d) f(x) =x? +3x415 P(-3,3)

e) F(x)=-x?+2x+10 | P(-4,-1) f) F(x) =-3x? +5x-6 P(1,-4) 9) f(x)=(x-3)-11

| \

Trabajo colaborativo

Trabajen en equipo y resuelvan. 9. Grafiquen en sus cuadernos cada una de las

funciones cuadráticas; determinen el dominio, el recoitido, los intervalos donde la función es creciente o decreciente, el punto máximo o mínimo, el vértice de la parábola, y el eje de simetría. Empleen cualquier programa para graficar y comprobar sus resultados.

a) f(x)=x?4+3

bb). £00=2x -2x+3

e) f00=x?-4x-12

dy t(x)=(-2x -3)(x- 6)

e) 10)=-9 +4

F(x)=-(8x +1)? +5x?-2

g) mx=x-2

h) n00=-3x-6x-5

i) f(x)=(x-6)

Determinen la concavidad, su punto máximo

y mínimo, sin realizar la gráfica de la función cuadrática.

a) y=5x?

b) y=-4x* +1 Cd) y=x*-4x+1 d) y=-x?+6x+3 e) y=x"-2x+8

Determinen el vértice y el eje de simetría de

las funciones cuadráticas. a) y=(x-2) +3

b) y=x*-5x+2

a) y=(x+3)-

d) y=x?+5x-14

con su ecuación. t i) y=b-2F 6 5 4 3 1 tab cles coe 0S a 2 eae ee’ y ii) y=" +2 A 2 Becca cn aae y i “1 iti) y=x?-2

roe Lae

: Actividad indagatoria

13.Encuentra una función cuadrática para la

siguiente situación. Luego, grafica.

Amelia tiene una piscina rectangular de 10 m de largo por 6 m de ancho, y quiere hacer un camino alrededor de la piscina de anchura constante. ¿Cuál es la expresión cuadrática que determina el área que ocupa la cubierta de piscina y su caminería?