Soluciones de una ecuación cuadrática según su representación gráfica

Idea principal

Una ecuación cuadrática debe estar igualada a cero y puede escribirse como ax^2+bx+c=0, con a\neq 0. Su gráfica es una parábola.

La cantidad de soluciones reales depende de sus cortes con el eje x:

• Si la parábola corta al eje x en dos puntos, existen dos raíces reales diferentes.
• Si la parábola toca al eje x en un solo punto, existen dos raíces reales iguales.
• Si la parábola no corta al eje x, no existen soluciones en los números reales.

Ejemplo a

Resolver 3x^2-5x+12=0 mediante la gráfica.

Aquí, a=3, b=-5 y c=12. La coordenada horizontal del vértice es:

h=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2(3)}=\frac{5}{6}

Calculamos la coordenada vertical:

\begin{aligned} k=f\left(\frac{5}{6}\right)&=3\left(\frac{5}{6}\right)^2-5\left(\frac{5}{6}\right)+12\\ &=\frac{119}{12} \end{aligned}

Por tanto, el vértice es:

V=\left(\frac{5}{6},\frac{119}{12}\right)

La parábola abre hacia arriba y su vértice está por encima del eje x. Por eso no corta al eje x y la ecuación no tiene solución real.

Ejemplo b

Determinar las raíces de x^2-6x+9=0.

La expresión se puede factorizar así:

x^2-6x+9=(x-3)^2

Entonces:

(x-3)^2=0

Al extraer la raíz o igualar el factor a cero:

x-3=0\quad\Longrightarrow\quad x=3

El vértice es (3,0). La parábola toca el eje x en un solo punto, por lo que la ecuación tiene dos raíces reales iguales: x_1=x_2=3.

Clasificación de ecuaciones

Las ecuaciones cuadráticas completas tienen a, b y c diferentes de cero. Las ecuaciones cuadráticas incompletas tienen b=0 o c=0.