Olimpiadas matemáticas

Resolución de los ejercicios

El rectángulo ABCD tiene área 10\ \text{cm}^2. Como M y N son puntos medios, los triángulos AMD y NBC ocupan cada uno la mitad de la altura del rectángulo y tienen la misma base que el rectángulo. Por tanto, cada uno tiene un área igual a la cuarta parte del rectángulo:

A_{AMD}=A_{NBC}=\frac{10}{4}=2{,}5\ \text{cm}^2

El cuadrilátero MBND es la región que queda al quitar esos dos triángulos:

A_{MBND}=10-2{,}5-2{,}5=5\ \text{cm}^2

La suma de las áreas de los cinco círculos es:

5\times 1=5\ \text{cm}^2

En la figura hay cuatro zonas de superposición entre círculos consecutivos. Cada una tiene un área de \frac{1}{8}\ \text{cm}^2. Como esas zonas se contaron dos veces al sumar las áreas, se resta una vez cada superposición:

A=5-4\left(\frac{1}{8}\right)=5-\frac{4}{8}=5-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\ \text{cm}^2

Como AD es la bisectriz del ángulo CAB, se cumple:

\angle DAB=\angle CAD=\alpha

Por lo tanto:

\angle CAB=2\alpha

Además, BH es perpendicular a AC. El ángulo obtuso entre BH y AD mide 4\alpha. Debido a la perpendicularidad, este ángulo obtuso es igual a 90^\circ+\alpha:

4\alpha=90^\circ+\alpha

3\alpha=90^\circ

\alpha=30^\circ

Entonces:

\angle CAB=2\alpha=2(30^\circ)=60^\circ

El número de niños por grupo debe ser un divisor de 96, mayor que 5 y menor que 20. Los divisores que cumplen esta condición son:

8,\ 12,\ 16

Cada cantidad permite una forma diferente de organizar los grupos. Por eso hay 3 formas.

El hexágono exterior tiene altura 3 y anchura 6. Puede dividirse en un rectángulo de dimensiones 3\times 3 y cuatro triángulos rectángulos congruentes. Su área es:

A_{\text{exterior}}=3\times 3+4\left(\frac{3\times 1{,}5}{2}\right)=9+4{,}5=13{,}5\ \text{cm}^2

La figura blanca interior es un rombo cuyas diagonales miden 3 y 3. Entonces:

A_{\text{interior}}=\frac{3\times 3}{2}=4{,}5\ \text{cm}^2

El área oscura es:

A_{\text{oscura}}=13{,}5-4{,}5=9\ \text{cm}^2

Después del primer descuento queda el 90\% del precio. Después del segundo queda el 80\% de esa cantidad:

0{,}90\times 0{,}80=0{,}72

Queda el 72\% del precio original, por lo que el descuento total es:

100\%-72\%=28\%