Altura de los árboles
Respuesta rápida
Altura correcta del árbol: 16,74\text{ m} aproximadamente. Con la segunda varilla: 16,78\text{ m} aproximadamente. Árboles: 16\text{ m} y 24\text{ m}. Poste: \frac{16}{3}\text{ m}\approx 5,33\text{ m}. Sombra del poste: 2,17\text{ m} aproximadamente.
Solución — Página 205
Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025
Para resolver problemas de sombras se consideran dos triángulos semejantes: el formado por el objeto y su sombra, y el formado por la varilla y su sombra. Por tanto, sus razones correspondientes son iguales: \frac{\text{altura del objeto}}{\text{longitud de su sombra}}=\frac{\text{altura de la varilla}}{\text{longitud de la sombra de la varilla}}
En la situación inicial: \frac{H}{24}=\frac{1,5}{2,15} Por ello, H=24\left(\frac{1,5}{2,15}\right)\approx 16,74\text{ m}. La respuesta indicada de 14\text{ m} no es correcta.
Si se utiliza una varilla de 1\text{ m} y una sombra de 1,43\text{ m}, se obtiene: H=24\left(\frac{1}{1,43}\right)\approx 16,78\text{ m}. La pequeña diferencia se debe al redondeo de las medidas; el tamaño de la varilla no cambia la altura calculada.
En la primera situación, la razón de semejanza es: \frac{1,2}{0,75}=1,6. El árbol más alejado tiene una sombra de 15\text{ m}, así que su altura es 15(1,6)=24\text{ m}. Como los árboles están separados 5\text{ m}, la sombra del árbol más cercano mide 15-5=10\text{ m} y su altura es 10(1,6)=16\text{ m}.
En la segunda situación: \frac{0,4}{0,6}=\frac{H}{8}. Entonces: H=8\left(\frac{0,4}{0,6}\right)=\frac{16}{3}\text{ m}\approx 5,33\text{ m}.
En la tercera situación, sea x la sombra total del poste. La distancia desde el extremo de la sombra hasta Andrés es x-1,3. Por semejanza: \frac{4}{x}=\frac{1,6}{x-1,3}. Al resolver: 4(x-1,3)=1,6x 4x-5,2=1,6x 2,4x=5,2 x=\frac{5,2}{2,4}\approx 2,17\text{ m}.
Contenido de la página
Triángulos semejantes y sombras
Cuando una varilla y un objeto reciben la luz del Sol a la misma hora, forman triángulos semejantes. Por esta razón, la razón entre la altura y la sombra de la varilla es igual a la razón entre la altura y la sombra del objeto:
\frac{h}{d}=\frac{H}{D}
Donde h es la altura de la varilla, d su sombra, H la altura del objeto y D su sombra.
Procedimiento
- Expresar todas las medidas en la misma unidad.
- Plantear una proporción entre alturas y sombras.
- Despejar la medida desconocida.
- Comprobar si el resultado es razonable.
Observación
Cambiar el tamaño de la varilla no cambia la altura real del objeto. Si las mediciones se realizan a la misma hora y en condiciones semejantes, se obtiene aproximadamente la misma razón.
Ejemplos resueltos
Una varilla de 1,5\text{ m} proyecta una sombra de 2,15\text{ m}. Un árbol proyecta una sombra de 24\text{ m}. Calcula la altura del árbol.
\frac{H}{24}=\frac{1,5}{2,15} H=24\left(\frac{1,5}{2,15}\right)\approx 16,74\text{ m} La altura del árbol es aproximadamente 16,74\text{ m}.
Fórmulas y ecuaciones
\text{altura del objeto}=\text{sombra del objeto}\left(\frac{\text{altura de la varilla}}{\text{sombra de la varilla}}\right)
\frac{h}{d}=\frac{H}{D}
H=D\left(\frac{h}{d}\right)
\frac{4}{x}=\frac{1,6}{x-1,3}
Glosario (4)
- Triángulos semejantes
- Triángulos que tienen la misma forma y cuyos lados correspondientes son proporcionales.
- Proyección
- Representación que se forma cuando la luz produce una sombra sobre una superficie.
- Razón de semejanza
- Cociente constante entre las longitudes correspondientes de dos figuras semejantes.
- Sombra
- Región oscura que se forma cuando un objeto bloquea el paso de la luz.
Preguntas para practicar
¿Qué otras medidas inaccesibles pueden calcularse mediante sombras?
¿Por qué es importante realizar las mediciones de la varilla y del objeto a la misma hora?
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (1)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula la altura de un árbol usando su sombra?
¿Qué proporción se aplica en los triángulos semejantes?
¿Cómo calcular la sombra de un poste?
- • Resolver proporciones
- • Convertir centímetros a metros
- • Identificar lados correspondientes en triángulos semejantes
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1577 caracteres
Tema: Altura de los árboles Triángulos semejantes
Situación cotidiana
Una varilla mide 1,5 m y proyecta una sombra de 2,15 m a las 16h00. A la misma hora se mide la sombra de un árbol y se obtiene un valor de 24 m. Se realiza el esquema y los cálculos necesarios para calcular la altura del árbol. ¿Cuál es el valor de esta altura?
Reflexiona
- ¿En qué otras situaciones cotidianas se utilizan la semejanza de triángulos?
La altura del árbol es de 14 m.
Comprueba la respuesta. + Enelcaso de estar errada la respuesta, ¿cuál es la solución?
¿Crees que si se disminuye el tamaño de la varilla, disminuye la altura del árbol? Comprueba con estos da- tos: la varilla mide 1 m y su sombra mide 1,43 m. La medición se realiza a la misma hora.
Resuelve las situaciones A
- A cierta hora del día, dos árboles separados entre B sí 5 m proyectan una sombra común que, me- dida respecto del árbol más alejado, es de 15 m. Con una varilla de 1,2 m de longitud, a esa misma hora, produce una sombra de 75 cm. Calcula la altura de los árboles.
75 cm 5m 15m
— Para saber la longitud de un poste se planta una varilla de 40 cm en un terreno a las 16h00. Ense- guida se mide la sombra de la varilla que proyec- ta el sol sobre el piso y resulta de 60 cm. Luego, se mide la sombra del poste, siendo esta de 8 m. Den ¿Cuál es la longitud del poste? 60cm 8m
Andrés se ha situado a 1,3 m de un poste de 4m de longitud. Si la estatura de Andrés es de 1,6 m, ¿Cuál es la sombra que proyecta el poste sobre el piso?
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