Los semáforos: ecuaciones de segundo grado
Respuesta rápida
- Tiempo de frenado: 3,5\ \text{s}.
- La comprobación produce 14\ \text{m}, por lo que la respuesta es correcta.
- Con medio segundo de reacción, recorre 28\ \text{m} y no se detiene antes del semáforo.
- El peatón sí cruza; emplea 10\ \text{s}.
- El auto recorre aproximadamente 13,9\ \text{m}.
- La altura máxima del objeto es aproximadamente 5,1\ \text{m}.
Solución — Página 204
Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025
Situación del semáforo
La distancia disponible es de 14\ \text{m} y la función es:
x=6t^2-17t
Para saber cuándo recorre 14\ \text{m}, se plantea:
6t^2-17t=14
6t^2-17t-14=0
Factorizando:
(3t+2)(2t-7)=0
Por tanto:
t=-\frac{2}{3}\quad\text{o}\quad t=\frac{7}{2}=3,5
Como el tiempo no puede ser negativo, la solución válida es t=3,5\ \text{s}.
Comprobación
x=6(3,5)^2-17(3,5)
x=6(12,25)-59,5=73,5-59,5=14\ \text{m}
La respuesta es correcta.
Si la persona demora 0,5\ \text{s} en reaccionar y frena durante 3,5\ \text{s}, el tiempo total considerado es:
t=0,5+3,5=4\ \text{s}
Entonces:
x=6(4)^2-17(4)=96-68=28\ \text{m}
Como 28\ \text{m}>14\ \text{m}, no logra detenerse antes del semáforo y lo sobrepasa.
Cruce de la avenida
La avenida mide 30\ \text{m} y la función es:
x=t^2-7t
Se busca el tiempo en que x=30:
t^2-7t=30
t^2-7t-30=0
(t-10)(t+3)=0
Las soluciones son t=10 y t=-3. Se descarta el valor negativo, por lo que el peatón emplea 10\ \text{s}. Como 10<12, sí alcanza a cruzar durante el tiempo que permanece encendido el semáforo.
Además, en 12\ \text{s} recorrería:
x=12^2-7(12)=144-84=60\ \text{m}
Distancia recorrida por el auto
Primero se convierte la velocidad:
100\ \frac{\text{km}}{\text{h}}=100\left(\frac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}}\right)=27,78\ \text{m/s}
Con t=5\ \text{s}:
x=vt-5t^2
x=(27,78)(5)-5(5)^2
x=138,9-125=13,9\ \text{m}
El auto recorre aproximadamente 13,9\ \text{m} antes de detenerse.
Altura máxima del objeto
En la altura máxima, la velocidad final es v=0. Se utiliza:
v^2=v_0^2-2gh
Sustituyendo v_0=10\ \text{m/s} y g=9,8\ \text{m/s}^2:
0^2=10^2-2(9,8)h
19,6h=100
h=\frac{100}{19,6}\approx 5,10\ \text{m}
La altura máxima es aproximadamente 5,1\ \text{m}.
Contenido de la página
Aplicación en la vida cotidiana
Las ecuaciones de segundo grado permiten modelar situaciones relacionadas con el tránsito y el movimiento. En esta página se estudian el tiempo de frenado de un vehículo, el tiempo que necesita un peatón para cruzar una avenida, la distancia recorrida por un auto y la altura máxima de un objeto lanzado hacia arriba.
Para resolver estos problemas se iguala la función a la distancia o condición indicada, se obtiene una ecuación cuadrática y se elige la solución que tenga sentido en el contexto.
Ejemplos resueltos
Un vehículo debe recorrer 14\ \text{m} según la función x=6t^2-17t. ¿Cuánto tiempo debe frenar?
Se plantea 6t^2-17t=14, de donde (3t+2)(2t-7)=0. Las soluciones son t=-\frac{2}{3} y t=3,5. Se acepta t=3,5\ \text{s} porque el tiempo no puede ser negativo.
Fórmulas y ecuaciones
x=6t^2-17t
x=t^2-7t
x=vt-5t^2
h=\frac{v_0^2}{2g}
x=6t^2-17t
x=t^2-7t
x=vt-5t^2
v^2=v_0^2-2gh
Glosario (5)
- Ecuación de segundo grado
- Igualdad algebraica cuya variable tiene como mayor exponente el número dos.
- Frenado
- Proceso mediante el cual un vehículo disminuye su velocidad hasta detenerse.
- Velocidad inicial
- Velocidad que posee un objeto al comenzar el movimiento.
- Altura máxima
- Mayor altura que alcanza un objeto lanzado verticalmente antes de comenzar a descender.
- Gravedad
- Aceleración que atrae los objetos hacia la superficie terrestre; en la página se usa $9,8\ \text{m/s}^2$.
Preguntas para practicar
¿Por qué los tiempos de espera en cada semáforo pueden ser diferentes?
¿Qué consecuencias tiene aumentar el tiempo de reacción del conductor?
¿Por qué se descartan las soluciones negativas en problemas de tiempo?
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (1)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado aplicada al frenado?
¿Cómo calcular la altura máxima de un objeto lanzado verticalmente?
¿Cómo convertir kilómetros por hora a metros por segundo?
- • Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización
- • Identificar y descartar soluciones negativas cuando representan tiempo
- • Sustituir valores en funciones
- • Convertir unidades de velocidad
- • Usar operaciones con números decimales
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2222 caracteres
Aplico en la vida cotidiana
lema: Los semati
Ecuaciones de segundo grado
Situación cotidiana
Se realizó una simulación del tiempo de frenado de un vehículo y se obtuvo la siguiente ecuación: x= 6 — 17t, don- de x es la distancia que recorre el vehículo y t es el tiempo de frenado.
Una persona que viene en su vehículo ve que el semáforo se pone en rojo 14 m antes de llegar a él e inmediatamente pisa el freno. ¿Durante qué tiempo debe mantener frenado al carro para no pasarse el semáforo?
Shutterstock, 707340751.
Reflexiona
— ¿Por qué crees que los tiempos de espera en cada semáforo son diferentes? Se debe mantener por 3,5 segundos.
Comprueba la respuesta. + Enelcaso de estar errada la respuesta, ¿cuál es la solución?
Si, en lugar de reaccionar inmediatamente, la persona que conduce demora su reacción medio segundo y mantiene frenado durante el mismo tiempo, ¿cuál es la distancia que recorre? ¿Alcanza a detenerse antes del semáforo?
Resuelve la situación
Una persona va a cruzar una avenida de 30 m de ancho. Sabe que el semáforo peatonal le da 12 segundos y que, por estudios realizados, se utiliza la siguiente ecuación x= - 7t, donde x es la distancia que cruza el peatón y tes el tiempo empleado en cruzar. ¿Alcanza a cruzar la avenida en 12 seg? ¿Qué tiempo empleó?
La distancia que recorre un auto, luego de que su conductor pisa el pedal de freno, está dada por la función x= vt- 5, donde ves la velocidad a la que se desplaza el auto antes de frenar y tes el tiempo que demora hasta detenerse. Calcula la distancia que recorre un auto si se desplaza a 100 km/h si para detenerse total- mente necesita 5 segundos.
Cuando lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial, ésta se reduce conforme el objeto sube, debido a la acción de la gravedad. El objeto deja de subir y alcanza una altura máxima en donde su velocidad es cero y empieza a bajar hacia el suelo, La velocidad del objeto en función de la altura que este alcanza está dada por la ecuación Y =v.?—2gh en donde v, es la velocidad inicial, g es la gravedad = 9,8 m/s? y h la altura.
Shutterstock, 1062925232.
¿Qué altura alcanzará un objeto que es lanzado con una velocidad inicial de 10 m/s?
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