Completa una posible fila de la tabla de una cartelera rectangular con perímetro de 180 cm; grafica los pares ancho-área y ancho-largo, identifica las gráficas y determina la solución de área máxima.

l=90-x, A(x)=-x^2+90x, (x,l)=(45,45), A_max=2025 cm^2

Resuelve los problemas del terreno junto a una pared, el bambú roto y la ventana rectangular coronada por un semicírculo.

25 m×50 m; h=4,55 pies; A(w)=9/2w-4+/8w^2

Analiza la función de altura del cohete h(t)=0,5(-9,8t^2+4,9t+2,5).

V=(0,25;1,55625), a<0ábola hacia abajo

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Aplicaciones de la función cuadrática

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$A(x)=-x^2+90x$ ; dimensiones máximas: $45\text{ cm}\times45\text{ cm}$ ; área máxima: $2025\text{ cm}^2$ ; relación ancho-largo: $l=-x+90$ .
$4\text{ m}$ .
$18$ estudiantes.

6a. $25\text{ m}$ de ancho y $50\text{ m}$ de largo; área máxima $1250\text{ m}^2$ .

6b. $4,55$ pies.

6c. $A(w)=\frac{9}{2}w-\frac{4+\pi}{8}w^2$ .

Vértice: $\left(0,25;1,55625\right)$ ; parábola cóncava hacia abajo.

8b. $2\text{ s}$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 10 min lectura

Solución — Página 223

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 3

Dimensiones de la cartelera

El perímetro es constante e igual a $180\text{ cm}$ . Si el ancho es $x$ , el largo es:

$l=90-x$

El área depende del ancho mediante:

$A(x)=x(90-x)=-x^2+90x$

Una posible fila para completar la tabla es:

Ancho	Largo	Perímetro	Área
$10\text{ cm}$	$80\text{ cm}$	$180\text{ cm}$	$800\text{ cm}^2$
$20\text{ cm}$	$70\text{ cm}$	$180\text{ cm}$	$1400\text{ cm}^2$

Los puntos correspondientes a ancho y área son $(10,800)$ y $(20,1400)$ . Al considerar todos los valores posibles, la gráfica es una parábola cóncava hacia abajo.

El vértice se obtiene con:

$x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{90}{2(-1)}=45$

Por tanto, el largo también es $45\text{ cm}$ y el área máxima es:

$A(45)=45(45)=2025\text{ cm}^2$

Para los pares ancho-largo se usa $l=90-x$ , cuya gráfica es una recta decreciente:

$l=-x+90$

Ejercicio 4

Pista de baile circular

Si el área nueva es $16$ veces el área actual, el radio nuevo es $4$ veces el radio actual, porque:

$\pi R^2=16\pi r^2\quad\Rightarrow\quad R=4r$

Como el radio aumenta $12\text{ m}$ :

$4r-r=12$

$3r=12$

$r=4\text{ m}$

El radio actual de la pista es $4\text{ m}$ .

Ejercicio 5

Problema-decisión

Sea $n$ el número de estudiantes. Cada estudiante paga inicialmente $\frac{90}{n}$ dólares. Si faltan tres, cada asistente paga $\frac{90}{n-3}$ dólares, que es un dólar más:

$\frac{90}{n-3}=\frac{90}{n}+1$

Multiplicando por $n(n-3)$ :

$90n=90(n-3)+n(n-3)$

$n^2-3n-270=0$

Factorizando:

$(n-18)(n+15)=0$

Como el número de estudiantes debe ser positivo, $n=18$ .

Una decisión razonable sería comparar el valor educativo, familiar y económico de ambas actividades. Por ejemplo, elegiría la excursión si aporta una experiencia importante y el costo es asequible; de lo contrario, escogería la visita familiar. La decisión debe justificarse considerando las circunstancias personales.

Ejercicio 6

a. Terreno junto a una pared

Sea $x$ el ancho y $y$ el largo paralelo a la pared. Solo se cercan tres lados:

$2x+y=100$

Entonces:

$y=100-2x$

El área es:

$A(x)=x(100-2x)=-2x^2+100x$

El ancho que maximiza el área es:

$x_v=-\frac{100}{2(-2)}=25\text{ m}$

El largo es:

$y=100-2(25)=50\text{ m}$

El área máxima es:

$A=25(50)=1250\text{ m}^2$

Ejercicio 6

b. Bambú

Sea $h$ la altura donde se rompe el bambú. La parte superior mide $10-h$ pies y forma un triángulo rectángulo con la altura $h$ y la distancia horizontal de $3$ pies:

$h^2+3^2=(10-h)^2$

$h^2+9=100-20h+h^2$

$20h=91$

$h=\frac{91}{20}=4,55\text{ pies}$

El bambú se rompió a $4,55$ pies de altura.

Ejercicio 6

c. Ventana con semicírculo

Sea $w$ el ancho de la ventana y $h$ la altura de la parte rectangular. El diámetro del semicírculo es $w$ , por lo que su radio es $\frac{w}{2}$ .

El perímetro es:

$2h+w+\frac{\pi w}{2}=9$

Despejando $h$ :

$h=\frac{9-w-\frac{\pi w}{2}}{2}$

El área es la suma del área del rectángulo y del semicírculo:

$A=wh+\frac{1}{2}\pi\left(\frac{w}{2}\right)^2$

Al sustituir $h$ :

$A(w)=\frac{9}{2}w-\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi}{8}\right)w^2$

También puede escribirse como:

$A(w)=\frac{9}{2}w-\frac{4+\pi}{8}w^2$

con $0<w<\frac{18}{2+\pi}$ .

Ejercicio 7

Altura de un cohete

La función es:

$h(t)=0,5(-9,8t^2+4,9t+2,5)$

Al desarrollar:

$h(t)=-4,9t^2+2,45t+1,25$

Los coeficientes del modelo representan la aceleración gravitatoria negativa, la velocidad inicial relacionada con el término lineal y la altura inicial relacionada con el término independiente. El signo negativo indica que la gravedad hace disminuir la altura después de alcanzar el máximo.

La altura se expresa en kilómetros y el tiempo en segundos, según el enunciado.

El tiempo del vértice es:

$t_v=-\frac{2,45}{2(-4,9)}=0,25\text{ s}$

La altura máxima es:

$h(0,25)=1,55625\text{ km}$

El vértice es:

$(0,25;1,55625)$

Como el coeficiente de $t^2$ es negativo, la parábola abre hacia abajo y tiene un punto máximo.

Ejercicio 8

a. Problema propuesto

Un rectángulo tiene un perímetro de $40\text{ m}$ . ¿Qué dimensiones debe tener para que su área sea máxima?

Si un lado mide $x$ , el otro mide $20-x$ . Por tanto:

$A(x)=x(20-x)=-x^2+20x$

El vértice se encuentra en:

$x_v=-\frac{20}{2(-1)}=10$

Las dimensiones son $10\text{ m}$ por $10\text{ m}$ y el área máxima es $100\text{ m}^2$ .

Ejercicio 8

b. Tiro vertical

Con velocidad inicial de $20\text{ m/s}$ y gravedad $10\text{ m/s}^2$ , la altura es:

$h(t)=20t-5t^2$

El tiempo para alcanzar la altura máxima es el tiempo del vértice:

$t_v=-\frac{20}{2(-5)}=2\text{ s}$

Contenido de la página

La página propone problemas en los que una relación entre cantidades se expresa mediante una función cuadrática. El vértice permite encontrar valores máximos, como el área máxima de un terreno o de una ventana. También se aplican ecuaciones cuadráticas a una pista circular, un bambú roto, la altura de un cohete y el tiro vertical.

Ejemplos resueltos

Un rectángulo tiene perímetro fijo de $180\text{ cm}$ . Determina sus dimensiones para obtener el área máxima.

Si el ancho es $x$ , el largo es $90-x$ . Entonces $A(x)=-x^2+90x$ . El vértice está en $x=45$ , por lo que las dimensiones son $45\text{ cm}$ y $45\text{ cm}$ , con área máxima de $2025\text{ cm}^2$ .

Tabla

Ancho	Largo	Perímetro	Área
$10\text{ cm}$	$80\text{ cm}$	$180\text{ cm}$	$800\text{ cm}^2$
$20\text{ cm}$	$70\text{ cm}$	$180\text{ cm}$	$1400\text{ cm}^2$

Fórmulas y ecuaciones

$x_v=-\frac{b}{2a}$

$A_{rectángulo}=base\times altura$

$A_{círculo}=\pi r^2$

$A_{semicírculo}=\frac{1}{2}\pi r^2$

$a^2+b^2=c^2$

$A(x)=-x^2+90x$

l=-x+90

$A(x)=-2x^2+100x$

$h^2+3^2=(10-h)^2$

A(w)= $\frac{9}{2}$ w- $\frac{4+\pi}{8}$ $w^2$

$h(t)=-4,9t^2+2,45t+1,25$

$h(t)=20t-5t^2$

Glosario (5)

Vértice: Punto de una parábola donde alcanza su valor máximo o mínimo.
Parábola: Gráfica de una función cuadrática.
Área máxima: Mayor área posible bajo las condiciones establecidas en un problema.
Perímetro: Longitud total del contorno de una figura.
Función cuadrática: Función que puede expresarse como $f(x)=ax^2+bx+c$, con $a\ne0$.

Preguntas para practicar

¿Por qué el cuadrado suele producir el área máxima cuando el perímetro de un rectángulo es fijo?

¿Qué información proporciona el vértice de una función cuadrática?

¿Cómo se relaciona la forma de una parábola con el signo de su coeficiente cuadrático?

Temas y conceptos clave

Aplicaciones de funciones cuadráticasOptimización de áreasProblemas geométricosMovimiento verticalPerímetro fijoÁrea máximaVérticeParábola cóncava hacia abajoEcuación cuadráticaAltura máxima

Fuentes y referencias

Referencia histórica mencionada en la página: Chuichang suan-shu, libro chino de matemática.

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el área máxima usando el vértice de una parábola?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo resolver problemas de dimensiones con ecuaciones cuadráticas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo hallar el tiempo máximo de un objeto en tiro vertical?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números reales
• Resolución de ecuaciones cuadráticas
• Fórmula del vértice de una parábola
• Áreas y perímetros de figuras geométricas
• Teorema de Pitágoras

Siguiente tema sugerido

Análisis de funciones cuadráticas y aplicaciones del vértice

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 3124 caracteres

¿Qué posibles dimensiones puede tener la cartelera? Para averiguarlo, completa la tabla en tu cuaderno.

ancho largo | perímetro área (m) (m) (cm) (cm?) 10 80 180 800

b) Grafica en tu cuaderno los pares ordenados

determinados en la tabla anterior (ancho y área).

e) Alunirlos puntos anteriores, ¿qué forma tiene

la gráfica?

d) ¿Cuál es la solución del problema?

e) Grafica los pares ordenados formados por el

ancho y el largo que se encuentra en la tabla.

f) ¿Qué gráfica obtienes? 9) ¿Cuál es la ecuación que modela la gráfica del

ancho y el área?

Resuelve el siguiente problema.

Una pista de baile tiene forma circular. Un arqui- tecto calculó que para hacer la pista 16 veces más grande, debería aumentarse su radio en 12 metros, pero olvidó anotar el radio actual de la pista. ¿Cuál es el radio actual de la pista de baile?

Problema-decisión. Un grupo de estudiantes ha decidido realizar una excursión. Los gastos con- tratados ascienden a 90 dólares, pero si tres es- tudiantes no asisten, cada uno de los asistentes deberá pagar un dólar más.

¿Cuántos estudiantes tiene el grupo?

Trabajo colaborativo

Trabajen en equipo y resuelvan. 6. Resuelvan los siguientes problemas:

a) El grupo de estudiantes de décimo de básica, para poder ahorrar alambre, decide utilizar una de las paredes del edificio como lado del terreno. De esta forma, solamente necesitan cerrar con 100 m de alambre tres lados del terreno, ¿Cuáles serán las nuevas

dimensiones del terreno, de tal manera que el área por cercar sea máxima?

b) Este problema ha sido tomado del libro de matemática chino conocido como Chui- chang suan-shu. “Un vástago de bambú de 10 pies de largo se rompe de forma tal que su punta toca la tierra a 3 pies de la base”. ¿A qué altura se rompió el bambú?

e) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo, Si el perímetro de la ventana es de 9 m, ¿cuál es el modelo matemático que expresa el área en función del ancho de la ventana?

Resuelvan la siguiente situación.

La altura en kilómetros de un cohete es un modelo particular descrita por la función cua- drática h(t) =0,5(-9,89t7+4,9t+2,5), donde t representa el numero de segundos después del despegue. ¿Qué respuestas darías para las siguientes preguntas?:

a) ¿Qué representan los coeficientes -9,8; 4,9 Y Ot

fb) ¿Cuáles son las unidades usadas para describir la altura del cohete?

€) ¿Cuál es el vértice de la función?

d) ¿Qué puedes decir de la forma de la parábola?

e Actividad indagatoria

Si fueras uno de los estudiantes y debes elegir. : entre ir a la excursión o participar de una visita: familiar prevista por tus padres, ¿qué decisión to- marías? Justifica.

Indaga y resuelve en tu cuaderno.

a) Plantea un problema en el cual, para su resolución, debas tomar medidas y luego aplicar las ecuaciones de segundo grado.

b) Indaga sobre las ecuaciones del tiro verti- cal hacia arriba. Halla el tiempo que demo- ra un objeto alcanzar su altura máxima si es lanzado con una velocidad de 20 m/s. Con- sidera el valor de la gravedad g = 10 m/s’. Utiliza solo la ecuación de la altura en fun- ción del tiempo.

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