Ministerio de Educación del Ecuador

246/255

Olimpiadas matemáticas

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 246

246 de 255

Anterior Página 246 / 255 Siguiente

Respuesta rápida

$45\text{ cm}^2$
$4\text{ cm}$
$17$
$3\text{ m}$
$11\text{ cm}$
$24$ , a las $19:59$
$1\text{ cm}^2$

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 246

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución de los ejercicios

Ejercicio 1

Área del cuadrilátero $ABCD$

Sean $P$ el punto de intersección de las diagonales, y sean $AB=a$ y $DC=c$ . Como los ángulos en $A$ y $D$ son rectos, $AB$ y $DC$ son paralelos.

Los triángulos $APB$ y $APD$ tienen la misma altura desde $P$ respecto de sus bases correspondientes. Por las propiedades de las diagonales de un trapecio, se obtiene:

$\frac{[APB]}{[APD]}=\frac{AB}{DC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$

Por tanto, $DC=2AB$ . Si $AB=a$ , entonces $DC=2a$ .

El área del cuadrilátero completo comparada con el área del triángulo $APD$ es:

$\frac{[ABCD]}{[APD]}=\frac{(AB+DC)^2}{AB\cdot DC}=\frac{(a+2a)^2}{a(2a)}=\frac{9}{2}.$

Entonces:

$[ABCD]=10\cdot\frac{9}{2}=45\text{ cm}^2.$

Ejercicio 2

Distancia entre los centros de las circunferencias

La altura del rectángulo es $7$ cm. Cada circunferencia es tangente a los lados superior e inferior, por lo que su diámetro es $7$ cm y su radio es:

$r=\frac{7}{2}=3{,}5\text{ cm}.$

El centro de la circunferencia izquierda está a $3{,}5$ cm del lado izquierdo. El centro de la derecha está a $3{,}5$ cm del lado derecho, es decir, a:

$11-3{,}5=7{,}5\text{ cm}$

del lado izquierdo. La distancia entre los centros es:

$7{,}5-3{,}5=4\text{ cm}.$

Ejercicio 3

Sexto resultado de la tabla

La suma de los números del $1$ al $9$ es:

$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.$

La suma de las tres filas es $45$ y la suma de las tres columnas también es $45$ . Por eso, la suma de los seis resultados es:

$2\cdot45=90.$

Los cinco resultados conocidos suman:

$12+13+15+16+17=73.$

El sexto resultado es:

$90-73=17.$

Ejercicio 4

Distancia $BC$

Como los puntos están en el orden $A$ , $B$ , $C$ , $D$ :

$AC=AB+BC=10,$

$BD=BC+CD=15,$

$AD=AB+BC+CD=22.$

Al sumar las dos primeras igualdades se obtiene:

$AB+2BC+CD=25.$

Restando $AD=AB+BC+CD=22$ :

$BC=25-22=3\text{ m}.$

Ejercicio 5

Valor de $x$

La región de $81\text{ cm}^2$ es un cuadrado, por lo que su lado mide:

$\sqrt{81}=9\text{ cm}.$

La región contigua tiene la misma altura, $9$ cm, y su área es $18\text{ cm}^2$ . Su ancho es:

$\frac{18}{9}=2\text{ cm}.$

El lado del cuadrado grande es la suma de ambos anchos:

$x=9+2=11\text{ cm}.$

Ejercicio 6

Máxima suma de las cifras del reloj

En un reloj digital de formato de 24 horas, la hora que produce la mayor suma debe tener una hora de la forma $19$ y los minutos $59$ .

La suma máxima es:

$1+9+5+9=24.$

La hora correspondiente es $19:59$ .

Ejercicio 8

Área del cuadrado pequeño

El área del cuadrado grande es $49\text{ cm}^2$ , por lo que su lado mide:

$L=\sqrt{49}=7\text{ cm}.$

Sean $a$ y $b$ las dimensiones de cada rectángulo. En la figura, el lado del cuadrado grande es $a+b$ , así que:

$a+b=7.$

La diagonal de uno de los rectángulos mide $5$ cm, por lo tanto, por el teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2=5^2=25.$

Calculamos el producto $ab$ :

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$

$49=25+2ab,$

$2ab=24,$

$ab=12.$

El lado del cuadrado pequeño es $|a-b|$ . Su área es:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=25-24=1\text{ cm}^2.$

Contenido de la página

Olimpiadas matemáticas

La página presenta siete problemas numerados del $1$ al $6$ y el $8$ . Se trabajan áreas de figuras, relaciones entre triángulos, circunferencias inscritas parcialmente en un rectángulo, sumas de filas y columnas, distancias sobre una recta, suma de cifras de un reloj y diagonales de rectángulos.

Fórmulas y ecuaciones

$A_{\text{trapecio}}=\frac{(B+b)h}{2}$

$d=2r$

$a^2+b^2=c^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$[ABCD]=45\text{ cm}^2$

$r=\frac{7}{2}\text{ cm}$

$d=4\text{ cm}$

$1+2+\cdots+9=45$

$BC=3\text{ m}$

$x=11\text{ cm}$

$1+9+5+9=24$

$a^2+b^2=25$

$(a-b)^2=1$

Glosario (5)

Trapecio: Cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos.
Radio: Segmento que une el centro de una circunferencia con cualquier punto de ella.
Diámetro: Segmento que pasa por el centro de una circunferencia y une dos puntos de ella.
Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos de una figura.
Área: Medida de la superficie de una figura plana.

Temas y conceptos clave

Áreas de cuadriláterosCircunferencias en rectángulosSumas de filas y columnasDistancias en una rectaÁreas de cuadrados y rectángulosSuma de cifrasTeorema de PitágorasTrapecioTriángulos semejantesRadio y diámetroSuma total de filas y columnasSegmentos consecutivosÁreaDiagonal de un rectángulo

Fuentes y referencias

https://www.canguromat.org.es

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (5)

Rectángulo de dimensiones 7 por 11 cm con dos circunferencias tangentes a tres lados cada una. — Figura 2 image

Tabla vacía de tres filas por tres columnas para representar el problema de sumas. — Figura 3 image

Cuadrado de lado x dividido en regiones rectangulares, con áreas de 81 cm² y 18 cm². — Figura 4 image

Cuadrado grande con cuatro rectángulos iguales dispuestos alrededor de un cuadrado pequeño central; uno de los rectángulos tiene diagonal AB. — Figura 5 image

Figura 6 de Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025 — Figura 6 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el área de un trapecio?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo hallar la distancia entre los centros de dos circunferencias?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo aplicar el teorema de Pitágoras en un cuadrado?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números naturales
• Área de cuadrados y rectángulos
• Propiedades de triángulos y cuadriláteros
• Teorema de Pitágoras

Siguiente tema sugerido

Resolución de problemas geométricos con semejanza y proporcionalidad

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1659 caracteres

Olimpiadas matemáticas

El cuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y en D. Los números mostrados indican las áreas en centímetros cuadrados de dos de los triángu- los. ¿Cuál es el área de ABCD?

Argumenta la solución:

Respuesta:

La figura muestra un rectángulo de dimensiones 7 X 11 cm que contiene dos circunferencias, de modo que cada una es tangente a tres de los la- dos del rectángulo, ¿Cuál es la distancia entre los centros de las circunferencias?

Argumenta la solución:

Respuesta:

Se escribe un entero del 1 al 9 en cada celda de una tabla 3 x 3. No hay números repetidos. Se cal- cula la suma de los enteros de cada una de las filas y de cada una de las columnas de la tabla. Cinco de los resultados son 12, 13, 15, 16 y 17, en algún orden. ¿Cuál es el sexto resultado?

Recuperado de: https//www.canguromat.org.es

| | Argumenta la solución: |

Respuesta: